Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

Задача 10.Устойчивость сжатого стержня.

Стальной стержень длиной l = 2,3 м сжимается силой Р = 300 кН. Условия закрепления стержня и форма его поперечного сечения показаны на рис.10.2. Требуется найти размеры поперечного сечения стержня, величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости при допускаемом напряжении на сжатие   = 160 МПа.

Решение.

Главные моменты инерции сечения ,  равны:

.

Площадь сечения

.

Минимальный радиус инерции

.

Расчет производим последовательными приближениями, предварительно задавшись значением коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения . Сечение будем считать подобранным удовлетворительно, если действующее в стержне напряжение σ и допускаемое напряжение на устойчивость  отличаются не более чем на 5%.

В первом приближении задаемся . Тогда из условия устойчивости  находим:

Отсюда ; .

Гибкость стержня .

По значению l из таблица для коэффициентов j найдем соответствующее значение  при l = 190 j = 0,21; при l = 200 j = 0.19; используя процедуру линейной интерполяции, получаем:

;

.

В качестве второго приближения возьмем

.

Тогда , ,

, .

Из таблицы для коэффициента j подбираем:

,  МПа.

В третьем приближении принимаем

, ,

, , .

,  МПа.

Проверяем:

недонапряжение , что допустимо.

Критическая нагрузка может быть вычислена либо по формуле Эйлера: , при , либо по формуле Ясинского: , при .

Для малоуглеродистых сталей предельная гибкость  = 100,

а = 310 МПа, b =1.14 МПа, МПа. В нашем случае l = 153.3 > 100. Следовательно, критическая сила

Коэффициент запаса устойчивости равен:

.

В заключение следует отметить, что в большинстве случаев для достижения удовлетворительного результата достаточно двух-трех приближений. В тех случаях, когда в первом приближении получается слишком большая гибкость (l > 200), можно порекомендовать в качестве начального приближения принять j = 0.1... 0.2, либо воспользоваться приближенной формулой для вычисления j(l):

, где .

В частности, для малоуглеродистых сталей .


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня