Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РАМЫ С ЛОМАННОЙ ОСЬЮ

В пространственной раме, в отличие от плоской, как стержни, составляющие раму, так и нагрузки не находятся в одной плоскости. При построении эпюр используется, как и в других случаях, метод сечений. При наличии заделки удобно обходить раму со свободного конца, в противном случае, при при общем нагружении, надо определять в заделке шесть реакций – три силы и три момента.

Особенности построения эпюр внутренних силовых факторов для пространственных рам:

1. Используется скользящая система координат, при этом ось Z направлена всегда вдоль стержней. Оси x, y, z связаны между собой жестко и при повороте оси Z поворачиваются вместе с ней.

2. Суммы проекций внешних сил, действующих на оставленную часть рамы, на продольные оси стержней, равны продольным силам Ni, на поперечные оси – поперечным силам Qi.

3. Правило знаков для продольной силы N прежнее, знак поперечной силы Q не определяется. Знак изгибающего момента также не определяем, из эпюра Mиз строится на сжатом волокне.

4. Эпюры Ni строятся в любой плоскости с любой стороны стержней. Эпюры Q удобно строить в плоскости действия силы, которая вызывает поперечную силу Q.

5. На взаимно перпендикулярных стержнях, лежащих в одной плоскости, при наличии нагрузки, перпендикулярной плоскости расположения стержней, изгибающие моменты переходят в крутящие и наоборот (например, моменты M1 и M2 на рис.9.2, 9.3)

6. Внешние силы нагружают все стержни, которые соединяют точку приложения силы с заделкой (например, сила Р нагружает стержни ДС, СЕ, Рис. 9.1 а).

7. При построении эпюр в пространственных рамах удобно рассматривать каждый стержень в отдельности, т.е.:

а) закреплять стержни (ставить заделку) в точках соединения с соседними стержнями (рис. 9.2 а, б, в);

б) нагружать стержни в начале всеми теми усилиями, которые приходят с соседних стержней (рис.9.2, 9.3);

в) строить на этом стержне эпюры от каждого силового фактора, пришедшего к началу участка, в отдельности;

г) направление изгибающих моментов определять по эпюрам Мизг, помня, что они построены на сжатом волокне (примеры приведены на рис.9.2, 9.3).


Придерживаясь изложенного метода, рассмотрим пример построения эпюр для пространственной рамы.

Задача 9. Плоско-пространственная рама.

 Построить эпюры всех внутренних силовых факторов для пространственной рамы (см. рис. 9.1). Проверить прочность рамы, изображенной по 3-й теории, если l=1 м, q=20 кН/м; d=0,175 м; [s]=160 МПа.


В данной раме четыре участка. Как было условленно, рассматриваем каждый стержень в отдельности, закрепляя его в точке соединения с соседними участками.

Участок АВ: 0 < Z1 < 1,5l (рис. 9.1 а). Записываем выражения внутренних силовых факторов, используя метод сечений, только для стержня

Рис. 9.1

АВ, мысленно закрепляя его в точке В, как в заделке. При этом забываем, что он - часть пространственной рамы. Так как в данной раме горизонтальных сил нет, то во всех стержнях возникает изгибающий момент только относительно оси х в вертикальной плоскости Мx. В связи с этим будем обозначать его просто Мизг без индекса:

Q1=qz; Q1(0)=0; Q1(1,5l)=1,5ql

  Mизг(0)=0; Мизг(1,5l)=1,125ql2

Сжаты верхние волокна, поэтому ординаты Мизг откладываем вверх. Эпюры для участка АВ построены на рис. 9.2 а.

Участок ВС: О < Z2 < 1. Закрепляем этот участок в точке С (рис. 9.3, 6) и нагружаем его последовательно каждым внутренним си­ловым фактором, пришедшим в точку В предыдущего участка. Судя по эпюре рис. 9.2, а, в точку В приходит сила, равная 1,5ql и направленная так же, как и внешняя, в данном случае q, вверх, прикладываем ее в точке B (рис. 9.2, б). От этой силы возникают два внутренних силовых фактора:

Q2=1,5ql; Mизг=1,5lqz2; Мизг(0)=0; Мизг(l)=1,5ql2.

Сила 1,5ql сжимает верхние волокна, поэтому эпюру Мизг, строим вверх. В точку В, судя по эпюре Мизг участка АВ, приходит момент

.

Из рис. 9.2, б видно, что этот момент, бывший изгибающим для участка АВ, становится крутящим для участка ВС:

Mкр=М1=1,125ql2.

Все эпюры переносим на заготовленные схемы (рис. 9.1, б, в, г). Участок ДС: 0 < Z3 < 1,21 (рис.3.19, в). Закрепляем его в точке С. Этот участок нагружен только силой Р = ql.

Сжаты нижние волокна, поэтому эпюру строим вниз (рис. 9.2, в).

Участок СЕ: 0 < Z4 < 1,51 (рис. 9.3, а). Закрепляем этот участок в точке Е. В эту точку приходят силовые факторы и с участка ВС, и с участка ДС. Какие факторы и чему они равны, определяется по (рис. 9.2, б, в). Направление силы Q совпадает с внешними силами. С участка ДС приходит сила Q2 = q×l, а с участка ВС сила Q3 = 1,5q×1 (рис. 9.2 а). Результирующая сила равна разности сил:

Q4=Q2-Q3=1,5ql-ql=0,5ql

 


Эта сила проектируется на вертикальную ось Q4 = 0,5q×l и вызывает изгибающий момент

Мизг4=0,5qlz4; Мизг4(0)=1,5ql2 ; Мизг4(1,5l)=0,75ql2,

так как сила 0,5q×l сжимает верхние волокна, то эпюра Мизг построена сверху (рис. 9.3, б). Так как это не окончательная эпюра, ограничиваем ее штриховой линией.

С участка BС приходит момент М2 (рис. 9.3, в). Как видно из рис. 9.3, в этот момент участок СЕ крутит:

Мкр4=1,5ql2,

С участка ВС приходит также момент M1=1,125ql2. Как видно из рис. 9.3, г, этот момент участок СЕ изгибает. В то же время с участка ДС приходит момент M3=1,2ql2, который также изгибает участок СЕ. Поэтому участок, СЕ изгибается суммарным моментом

(рис. 9.3, г) и кроме того силой 0,5ql (см. рис. 9.3, б). Суммарный момент получим, складывая моменты М' и М" (см. рис. 9.3, г) по точ­кам, имея в виду, что М΄ находится снизу от нулевой линии, а М΄΄ - сверху. Тогда в точке С остается момент 2,325ql2, а в точке Е -равный разности 2,325ql2 - 0,75q2 = 1,5ql2.

Все окончательные эпюры, полученные для отдельных участков, переносим на единые осевые заготовки для эпюр Q, Мкр и Мизг (рис.9.1, б, в, г).

Опасное сечение С в точке 1. Здесь

Mизг=2,325ql2; Mкр=1,5ql2;

MПа

Так как smax <[s] — 100<160 — прочность обеспечена.

 


 


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня