Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

Задача 8. Внецентренное сжатие.

Короткий чугунный стержень, поперечное сечение которого изображено на рис.8.1, а = 3 c м, b = 2 см, сжимается продольной силой Р , приложенной в точке А . Допускаемые нормальные напряжения: на сжатие МПа; на растяжение МПа.

Требуется:

1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через Р ;

2) найти допускаемую нагрузку [ Р ] при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях чугуна на сжатие и на растяжение .

Решение.

1. Нормальное напряжение в произвольной точке сечения стержня, определяемой координатами х и у , запишется в виде

, (8.1)

где х р , у р - координаты точки приложения силы Р (точки A );

F - площадь поперечного сечения стержня;

J xc , J yc - главные моменты инерции сечения.

Определим величины главных моментов инерции сечения.

а) Найдем положение центра тяжести сечения С . Введем вспомогательную систему координат х B у (рис. 8.2), относительно нее координаты центра тяжести равны

Статические моменты сечения равны сумме статических моментов элементарных сечений (1, 2, 3), на которые его можно разбить (см. рис. 8.3). Отметим, что площадь первой фигуры следует брать со знаком минус.

Подставляя исходные данные, получим:

см 3 .

Тогда см.

Ввиду симметрии сечения координату центра тяжести у c можно найти без вычислений, она равна половине вертикального размера сечения

у c = 2 b = 4 см. Через найденный центр тяжести C проводим главные центральные оси х с и у с.

б) Вычислим главные моменты инерции.

Так как ось х с и оси элементарных сечений х 1 , х 2 , х 3 совпадают, то:

см 4 .

Для вычисления момента инерции относительно оси у с используем формулу изменения момента инерции при параллельном переносе осей:

см 4 .

Здесь через d 1 , d 2 , d 3 обозначены : соответственно расстояния между осью у с и осями у 1 , у 2 , у 3 :

Для определения наибольших напряжений сжатия и растяжения, возникающих в сечении, определим положение нейтральной линии. Ее положение определяется уравнением

,

 где и - отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях x c и y c ,

, - главные радиусы инерции сечения,

х Р , у Р – координаты точки приложения силы Р (точки А ) относительно центральных осей х Р = -1,14 см, у Р = 2 см.

Получим

см, см, см , см.

 

Отложим отрезки х0 и у0 и проведем через них нейтральную линию (рис.8.4).

Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной возникают напряжения сжатия, в другой – растяжения. В точке А прикладывается сжимающая сила Р , поэтому часть, включающая т. А – область сжатия, другая часть – область растяжения. Максимальные напряжения возникают в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной линии. Для определения этих точек проведем линии параллельные нейтральной, получим в растянутой части точку К (-4,14; 4), в сжатой точку Е (1,86; -4) (рис.8.4).

Подставляя в формулу (8.1) вычисленные значения моментов инерции, а также координаты точки приложения нагрузки и точек, где возникают наибольшие сжимающие (т. К ) и растягивающие (т. Е ) напряжения, получим:,

- максимальные напряжение растяжения

.

По вычисленным значениям построим эпюру (рис.8.4).

2. Определим величину допускаемой силы [ P ].

Из условия прочности стержня при сжатии

, получим

кН.

Из условия прочности стержня при растяжении

, получим

кН.

Выбирая меньшую из двух нагрузок, окончательно принимаем

кН.


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня