Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

При решении задач на эту тему (задача 7) необходимо помнить следующие правила знаков:

- растягивающее нормальное напряжение  положительно, а сжимающее - отрицательно;

- касательное напряжение  считается положительным, если при повороте внешней нормали к сечению по часовой стрелке она совпадет с направлением .

 Главные напряжения в плоском напряженном состоянии определяются по формуле

.

Далее определяются индексы главных напряжений.

Если   и , тогда  и ,

если   и , тогда  и

и, наконец, если , , тогда  и .

Положение главных площадок относительно площадок, показанных на рис.3, определяется углом

.

Если , тогда для получения направления  необходимо максимальное из двух напряжений  и  повернуть на угол  против часовой стрелки (если , тогда поворот осуществить по часовой стрелке). Для наглядности решения задачи необходимо изобразить на рисунке положение главных площадок и действующих на них главных напряжений.

 

Задача 7. Плоское напряженное состояние.

Стальной кубик (рис.7.1) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю). Требуется найти:

1) главные напряжения и направление главных площадок;

2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений;

3) главные деформации ε1, ε2, ε3;

4) эквивалентное напряжение  по четвертой (энергетической) теории прочности;

5) относительное изменение объема;

6) удельную потенциальную энергию деформации.

Исходные данные: σх = 90 МПа, σу = 80 MПa,

τх = 50 МПа.

Решение. При выполнении этой задачи необходимо руководствоваться .следующим правилом знаков для нормальных и касательных напряжений: растягивающее нормальное напряжение положительно, а сжимающее - отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор стремится вращать призму по часовой стрелке относительно любой точки, лежащей на внутренней нормали этой грани.

Расставим знаки в исходных данных в соответствии с направлением напряжений на рис. 3.1. Получим:

σх = 90 МПа, σу = - 80 MПa, τх = - 50 МПа, τу = 50 МПа.

1. Найдем главные напряжения

  (3.1)

Главные напряжения обозначают σ1, σ2 и σ3; при этом индексы расставляют так, чтобы выполнялось неравенство

.  (3.2)

В задаче рассматривается плоское напряженное состояние, т.е. одно из трех главных напряжений равно нулю, поэтому из формулы (3.1) и правила (3.2) следует:

, , .

Направление главных площадок относительно площадок, показанных на рис. 3.1, определяется по следующей формуле:

.

.

Отрицательный угол α0 откладывается по часовой стрелке от площадки с большим нормальным напряжением (в данном случае σх) (рис. 3.2). Можно также пользоваться правилом: для определения положения главной площадки с напряжением σmax необходимо площадку с большим (в алгебраическом смысле) нормальным напряжением повернуть на угол α0 в направлении, в котором вектор касательного напряжения, действующего по этой же площадке, стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.

2. Найдем максимальные касательные напряжения

.

3. Найдем главные деформации ε1, ε2 и ε3 из обобщенного закона Гука;

4. Найдем эквивалентное напряжение

5. Найдем относительное изменение объема

.

6. Найдем удельную потенциальную энергию деформации

.

В данной задаче .


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня