Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

Задача 1. Статически неопределимый стержень.

Стальной стержень ( Е = 2∙105 МПа ) находится под действием продольной силы Р ( рис. 1.1 ). Построить эпюры продольных сил N, напряжений σ , перемещений U. Определить допустимое значение силы Р, если

Исходные данные выбираются студентом согласно шифру из контрольных заданий:   , , .

РЕШЕНИЕ.

1.Статическая сторона задачи. Под действием силы Р в заделках возникают неизвестные реакции RA и RD.

Для того чтобы найти эти реакции уравнений статики недостаточно. Для заданной системы можем записать только одно уравнение равновесия. .  RA − P + RD = 0.

В это уравнение равновесия входят две неизвестные реакции, следовательно, система статически неопределима один раз.

2.Раскрываем статическую неопределимость.

1ыйспособ. Геометрическая сторона задачи. Отбрасываем нижнюю заделку и заменяем её действие силой RD.(Рис. 1.1). Записываем уравнение совместности деформаций. Это уравнение выражает тот факт , что общая длина стержня не меняется. На сколько стержень удлинится под действием силы Р , на столько сократится под действием силы RD. При наличии зазора между стержнем и опорой сумма деформаций приравнивается не нулю, а величине зазора. Т.е.

  + = 0 (1.1),

где

Физическая сторона задачи. Выразив  и  по формуле закона Гука определяем абсолютные удлинения:

имеем:

.  (1.2) (растяжение)

Сила P растягивает участки стержня «а» и «b».

.  (1.3) (сжатие)

Сила RD сжимает весь стержень.

Решаем совместно полученные уравнения (1.1, 1.2, 1.3)

  =0

P= RD

Статическая неопределимость  раскрыта.

2ой способ. Геометрическая сторона задачи. Записываем уравнение совместности деформаций. Это уравнение выражает тот факт, что общая длина стержня не меняется, т.е. для всего стержня

.  (1.4)

При этом

+ (1.5).

Физическая сторона задачи. Каждое слагаемое представляет собой удлинение участка и может быть определено по закону Гука .

Выразим продольную силу N, а затем и  на каждом участке через силы P и RD. Получим: , ,

Решаем совместно полученные уравнения:

++= 0

.

Вместо a,b,c, подставляем их значения:

Статическая  неопределимость раскрыта.

3)Строим эпюру продольных сил N (рис. 1.1), предварительно рассчитав продольные силы на участках «а» , «b», «с».

   

4)Строим эпюру напряжений (рис. 1.1).

Нормальные напряжения  на участках «а», «b», «с» равны соответственно:

.

Значения   берутся с эпюры продольных сил.

.

5)Строим эпюру перемещений (рис.5), предварительно рассчитав деформации на участках. Деформации на участках будут равны соответственно:

  , 

Значения   берутся из эпюры.

Перемещение ечения А равно нулю, т.к. оно в заделке.  = 0. Перемещение сечения B равно деформации участка «a».  Перемещение сечения С равно сумме деформаций участков «а» и «b».

Перемещение сечения D равно сумме деформаций участков «а» , «b» и «с».

6)Допустимое значение силы P определяем из условия прочности. Так как , то достаточно записать одно условие прочности.

,  отсюда  

  102Н


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня