Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

Расчетно-графическое задание №3.

Определение кинематических параметров для материальной точки, движущейся криволинейно.

Задание

Определение скорости и ускоренна точки по заданным уравнениям ее движения По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t= t1 (сек) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Необходимые для решения данные приведены в табл.1.

 Пример выполнения задания

Исходные данные в см и сек:

 } (1)

  t1 =

Решение

Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения.

Тогда

  у = х2 - 1. (2)

 Это выражение есть уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

 ux =  = 4 см/сек;

 uy =  = 32 t см/сек.

Модуль скорости точки

 u = . (3)

Аналогично проекции ускорения точки

  wx =  = 0; wy =  = 32 см/сек2.

Модуль ускорения точки

 w =  = 32 см/сек2.

Координаты точки, а также ее скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для заданного момента времени t = 1/2 сек приведены в табл.2.

Таблица 2

Координаты,

 См

 Скорость, см/сек

 Ускорение,  см/сек2

Радиус

кривизны, см

x

Y

ux

uy

u

wx

wy

wn

wt

w

r

2

3

4

16

16,5

0

32

7,94

31

32

34,3

Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости (З):

 wt = ;

  =  = .

При t = 1/2 сек

  =  = 31 см/сек2

Следовательно, модуль касательного ускорения

 wt = 31 см/сек2.

Знак «+» при  показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления  и   совпадают.

Нормальное ускорение точки в данный момент времени

 wn == = 7,94 см/сек2

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 1/2 сек находится в точке М,

 r =  =  = 34,3 см.

Полученные значения wt и wn и r также приведены в таблице.

Пользуясь уравнением (2), вычерчиваем траекторию (рис.1) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор  строим по составляющим  и , причем этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки. Вектор  находим как по составляющим  и , так и по  и , чем контролируется правильность вычислений.

Рис.1


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня