Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

Расчетно-графическое задание №2

Определение положения центра тяжести плоского тела

Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, размеры — в сантиметрах.

Пример выполнения задания:

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, показанной на рис. 1.

Решение

  Рис.1

Координаты центра тяжести площади определяем по формулам:

  xC = ; yC = . (1)

Чтобы воспользоваться этими формулами, площадь фигуры делим на отдельные части, положения центров тяжести которых известны. В данном случае такими частями являются: прямоугольник, треугольник и половина круга (рис.2). Площадь половины круга, вырезанную из площади прямоугольника, считаем отрицательной.

Имеем:

площадь прямоугольника

 F1 = 40 • 30 = 1200 см2,

 площадь треугольника

 F2 =  = 1000 см2;

площадь половины круга

 F3 =  = 200 p = 628 см2

Рис.2

Центры тяжести рассматриваемых частей сечения имеют следующие координаты:

для прямоугольника

 х1 = 15 см; у1 = 20 см;

для треугольника

  x2 = 30 +  = 46,7 см; y2 =   = 13,3 см;

для половины круга

х3 =   =  = 8,5 см; y3 = 20 см.

Для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры составляем таблицу.

Номер

элемента

 Fi ,см2

 xi ,см

 yi ,см

Siy = Fi xi ,

 см3

Six = Fi yi ,

 см3

1

2

3

 1200

 1000

  -628

 15,0

 46,7

  8,5

 20,0

 13,3

  20,0

 18000

 46700

  -5338

 24000

 13300

  -12560

S

 1572

 --

 --

 59362

 24700

По формулам (1) вычисляем координаты центра тяжести плоской фигуры:

xC =   =37,8 см; yC =  =15,7 см.

Центр тяжести площади указан на рис. 2.

3. Определение траектории, скорости и ускорения точки, при движении её в координатной форме.

Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат.

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями:

  (3.1)

Движение точки в плоскости (рис. 17) задается двумя уравнениями:

  (3.2)

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме.

 рис.17

Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).

Если закон движения точки задан в координатной форме, то

траектория плоского движения точки выражается уравнением

,

которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени ;

числовое значение скорости точки находится из формулы

после предварительного определения проекции (см. рис. 17) скорости на оси координат

   и

числовое значение ускорения находится из формулы

после предварительного определения проекций ускорения на оси координат

   и ;

Направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.

Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определить радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу

выражающую числовое значение нормального ускорения.

Отсюда

.  (а)

Скорость  точки определяется по формуле

. (б)

Следовательно,

.  (б’)

Числовое значение нормального ускорения  входит в выражение полного ускорения точки

,

откуда

,  (в)

где квадрат полного ускорения

  (г)

и касательное ускорение

.  (д)


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня