Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

ДИНАМИКА

Задача Д1

Общая постановка задачи:

Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F, проекция которой FX на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время

t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. х = f(t), где х = BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действуют сила тяжести R и постоянная сила Q; расстояние от точки А, где v = v0, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m = 2 кг, R = mv2, где m = 0.4 кг/м, vo = 5 м/с, / = 2.5 м,

 Fx = 16sin(4t).

Определить:  x= f(t) - закон 


Решение. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р= mg и R. Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось :

(1)

Далее находим Рz = Р = mg, Rz = - R =mv2 ; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых, они зависят. Учтя еще, что Vz = V, получим

 (2)

Введем для сокращения записей обозначения

 (3

где при подсчете принято g @ 10 м/с2. Тогда уравнение (2) можно представить в виде

 (4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем, беря от обеих частей интегралы, получим

 (5)

По начальным условиям при z = 0 v = v0 ,

что дает C1= ln( vo 2 – n ),

и из равенства (5) находим ln  (v2 - n) = - 2kz + ln (vo2 - n)

или

 ln (v2 - n) - 

ln (vo2  - n) = -2kz.

 Отсюда

 

В результате находим

(6)

Полагая в равенстве (6) z = l = 2.5 м и заменяя k и n их значениями (3), определим скорость vb груза в точке В (V0 = 5 м/с, число е =2.7) :

V²b = 50 - 25/е =40.7 и VB = 6.4 м/с . (7)

Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость vb будет для движения на этом, участке начальной скоростью (V0 = Vв). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р = mg , N и F.

Проведем из точки В ось Вх и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось :

 (8)

Так как Рx = P sin30° = 0.5 mg , Nx = 0 , Fx = 16sin(4t), то уравнение (8) примет вид

 (9)

Разделив обе части равенства на m = 2 кг и полагая опять g @10 м/с², получим

 

 (10) 

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

 Vx = 5t - 2cos(4t) + С2 (11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в

точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = О vx = vo = vв, где

vв дается равенством (7).

Подставляя эти величины в (11), получим

С2 = vв + 2 cos 0 = 6.4 + 2 = 8.4 (12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

 х = 2.5 t2 - 0.5 sin (4t) + 8.4t + Сз 

 (13)

Так как при t=0 х = 0, то Сз = 0 и окончательно искомый закон движения груза будет

х = 2.5t2 + 8.4t - 0.5sin(4t), (14)

где х - в метрах, t - в секундах.


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня