Теоретическая механика Примеры задач контрольной работы Кинематика твердого тела Плоскопараллельное движение Импульс силы Проекция силы на ось и плоскость Определение реакций опор балки Определение центра тяжести фигуры

Примеры решения задач теоретическая механика

КИНЕМАТИКА

Определение кинематических характеристик движения материальной точки

Пример решения задания

По заданным уравнениям движения точки x(t) = 1- 3cos πt/6, y(t) = 2sin πt/6 (координаты х и у измеряются в см, время в сек) найти уравнение траектории точки, а также ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, радиус кривизны траектории для момента времени t1 =1 с. На рисунке показать вид траектории и для заданного момента времени  t1 =1 с в выбранном масштабе построить векторы скорости и ускорения точки.

Решение

1. Нахождение траектории движения точки М.

Для нахождения уравнения траектории, по которой движется точка, следует из уравнений движения исключить время. Исключим из заданных уравнений движения параметр t (время),

воспользовавшись известной формулой тригонометрии:

sin2 α + cos2 α = 1. (1)

Из уравнений движения точки выразим функции

cos πt/6 =  и sin πt/6 = ,

возведем эти выражения в квадрат и согласно выражению (1) сложим. В результате получим уравнение траектории движения точки

+  = 1. (2)

Уравнение (2) представляет собой каноническое уравнение эллип­са, центр которого находится в точке с координатами х = 1 см, у = 0 см (рис.5.1). Траекторией движения точки является весь эллипс.

  2. Построение траектории.

Построим на рисунке траекторию и отметим положение точки на траектории в данный момент времени t1 =1 с.

Для этого выберем масштаб, например,  и произведем построения

 

Рисунок 1

Путем подстановки в уравнения движения точки заданного момента времени t1 =1 с, определим положение точки на траектории х t = 1 c = – 1,598 см, у t = 1 c = 1,0 см

Рисунок 2

3. Нахождение величины скорости точки.

Для вычисления скорости точки, движение которой задано координатным способом, применяется формула

,  (3)

где ,  - проекции вектора скорости точки на оси координат. Вычисляя производные от соответствующих уравнений движения точки по времени, получаем

 = ,

  = .

Вычислим величины проекций вектора скорости на оси координат в момент времени t = 1 с

   см/с,

   см/с,

а затем, подставляя величины ,  в (3), и величину скорости точки:

см/с.

Для того чтобы на рисунке построить вектор скорости точки, воспользуемся формулой

.

Выбираем масштаб и на рисунке из точки М параллельно осям координат в этом масштабе откладываем составляющие вектора скорости  и , а затем проводим вектор  (рисунок 3).

 

Рисунок 3


Сборник задач с решениями по термеху Устойчивость сжатого стержня