Дифференциальные уравнения при решении физических задач

Задача

 Для остановки судов у причала с них бросают швартовый канал, который наматывают на кнехт (столб), стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг кнехта, коэффициент трения каната о кнехт равен k = 1/3 и рабочий на пристани тянет свободный конец каната с силой 10кг?

 Решение. Выведем уравнение для модуля силы торможения корабля в зависимости от угла поворота вокруг столба (уравнение Эйлера). Рассмотрим рисунок столба с намотанным на него канатом (вид сверху)

рис. 1

Участок длины каната между углами   и  должен быть уравновешен действующими на него силами (так как канат неподвижен). На этот участок каната действуют три силы: сила P(j), приложенная к точке А, сила P(j+Dj), приложенная к В и сила трения P_тр. Уравнение состояния имеет вид P(j+Dj) - P(j) + P_тр = 0. Найдём силы без учёта величин порядка 0(Dj). Из рисунка видно, что силы P(j) и P(j+Dj) прижимают отрезок каната с силой [P(j) + P(j+Dj)]SinDj/2, которая направлена к центру столба. Величина силы трения равна

P_тр = k[P(j) + P(j+Dj)]SinDj/2 @ P(j)Dj×k

Следовательно, получено соотношение между силами

P(j+Dj) - P(j) = -k P(j)Dj.

Разделив на Dj и перейдя к пределу, получим P¢ = -kP. Его решение P(j) = P(0)e^-kj (формула Эйлера). Сила P(j) после трёх оборотов j = 2p×3 равна P(6p) = 10 кг. Отсюда получим силу торможения корабля:

P(0) – P(6x)e^(1/3)6x @ 10×e^6,28 = 5000 кг.