Дифференциальные уравнения при решении физических задач

Задача

Тело охладилось за 10 минут от 100 до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Когда тело остынет до 25°?

Решение. Обозначим температуру тела, которая зависит от времени t, через T(t). Тогда T(0) = 100 – начальная температура тела. Т(10) = 60 – температура тела через 10 минут. Найдём функцию T(t). Температура тела в момент меньше, чем в момент t, причём разность пропорциональна разности температур тела и воздуха Т – Т_в в силу простого физического закона: количество тепла, выделяемого телом за единицу времени, пропорционально температуре тела. Следовательно,

Отсюда .

Перейдя к пределу, получим . Решим полученное дифференциальное уравнение. Введём обозначение , тогда уравнение для функции t примет вид

Его решение имеет вид

Возвращаясь к старой переменной, получим решение исходного уравнения:

Найдём коэффициент К из условия Т(10) = 60. Получим

Окончательно решение примет вид

Время, в течении которого тело остынет до 25°, найдём из уравнения Т(t) = 25,

получим

Ответ: через 40 минут.

Задача

Решить систему: , А = .

Решение. Найдём матрицу exp(At) по следующему алгоритму: Анализ видов и кинетических параметров движений Равномерное движение Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению

1) Найдём собственные значения матрицы А по характеристическому многочлену l₁ = 1, l₂ = -4. Корни разные, следовательно, матрица А простая. В этом случае для любой функции f(x) справедливо равенство

f(A) = f(l₁)z₁ + f(l₂)z₂. (*)

Нам нужна матрица f(A) = e^At. Она имеет вид e^At = e^tz₁ + e²^tz₂.