Решение дифференциаоьного линейного уравнения с переменными коэффициентами

Зная два частных решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, найти его общее решение:

Решение. Общее решение неоднородного уравнения у_он имеет вид у_он = у_оо + у_чн, где у_оо – общее решение однорордного уравнения, у_чн– частное решение неоднородного уравнения. В свою очередь, у_оо = С₁у₁ + С₂у₂, где у₁ = у₁(х) и у₂ = у₂(х) – два линейно независимых решения однородного уравнения. Таким образом, у_он можно записать в виде у_он = С₁у₁(х) + С₂у₂(х) + х; здесть в качестве у_чн выбрано у_чн1 = х (можно было выбрать и у_чн2). Найдём у₁(х) и у₂(х). Так как у_чн1 и у_чн2 – два решения уравнения (*), то имеют место тождества

Вычитая из второго уравнения первое, получим для разности

V = y_чн2 - y_чн1, равенство (x² – 1) V¢¢ + 4xV¢ + 2V = 0. Следовательно, разность V = y_чн2 - y_чн1 есть решение однородного уравнения, т.е. у₁(х) можно взять равным V(x):

для функции у₂(х) получено уравнение первого порядка. Решим его, используя формулу из параграфа 5:

Задача

Решить систему: , А = .

Решение. Найдём матрицу exp(At) по следующему алгоритму: Анализ видов и кинетических параметров движений Равномерное движение Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению

1) Найдём собственные значения матрицы А по характеристическому многочлену l₁ = 1, l₂ = -4. Корни разные, следовательно, матрица А простая. В этом случае для любой функции f(x) справедливо равенство

f(A) = f(l₁)z₁ + f(l₂)z₂. (*)

Нам нужна матрица f(A) = e^At. Она имеет вид e^At = e^tz₁ + e²^tz₂.