Общие свойства пределов Элементы теории кривых Плоские кривые


Вычислить тройной интеграл Изображение объектов трехмерного пространства Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле Интегрирование по части области Абстракция и инкапсуляция

Primmat.ru
Инженерная графика Начертательная геометрия
	Методы проецирования
	Поверхности
	Преобразование чертежа
	Позиционные задачи
Ядерная физика, задачи
Графические методы решения задач
	Свойства ядер, модели
	Реакции ядра, частицы
	Структура ядра
	Капельная модель ядра
	Деление ядер
	Нейтронная физика
	История создания атомного и термоядерного оружия
	Законы радиоактивного распада

	Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты
	Энергия распада
	Энтропия
	Взаимодействие нейтронов с ядрами
	Задачи на ядерные реакции
	Деление и синтез ядер
	Сборник примеров и задач
	Законы сохранения и взаимодействия
Электростатика
	Электромагнитное взаимодействие
	Электростатическом поле
Физика справочник
	Термодинамика
	СИ Частотный спектр
	Кинематика
	Электpостатика
	Волновая оптика
	Динамика
	Инструмент Paintbrush (Кисть)
	Молекулярное строение
	Электрическое поле
	Радиоактивность
	Геометрическая оптика
	Квантовая механика
	Электромагнитное поле
	Оптика
	Механика
	Физические константы
	Тепловое излучение
	Прикладная математика и физика
	Электромагнитное взаимодействие
	Закон Кулона
	Фотоэлектрический эффект
	Электромагнетизм
	Электромагнетизм
	Электричество
	Атомная физика
Математика
	Нахождение дифференциала
	Вычисление двойного интеграла
	Интегрирование тригонометрических функций
	Вычислить работу векторного поля
	Одночлены и многочлены
	Интегральное исчисление
	Применение интегралов
	Дифференциальные уравнения
	Вычисление интегралов
	Неопределенный интеграл
	Несобственные интегралы
	Вычисление объема тела
	Вычисление длин дуг
	Вычисление площадей фигур
	Площадь в полярных координатах
	Площадь в декартовых координатах
	Кратные интегралы
	Методы интегрирования
	Первообразная, производная
	Формула замены
	Определенные интегралы
	Степенные ряды
	Решение дифф. уравнения
	Линейные дифф.уравнения
	Дифференциал задачи
	Комплексные числа
	Матрицы
	Векторная алгебра
	Предел функции
	Исследования функции
	Аналитическая геометрия
	Векторная алгебра
	Общие свойства пределов
	Построение графика
	Матрицы свойства решения
	Производная функции
	Свойства комплексных чисел
	Асимптоты графика функции

Пусть , и взята база $\mathcal{B}=\{x\to0\}$

Найдём предел $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}.$

Найдём предел $\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}.$

Найдите пределы: $\displaystyle L_1=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-8x+3}{x^3-2x^2};$
Примеры решения задач на пределы

Первый и второй замечательные пределы
Богоматерь Владимирская Мозаика в Соборе Святой Софии

Вычислим предел
Гипотезы прочности Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку. Точку принято изображать в виде маленького элемента в форме параллелепипеда
Понятие о сложном деформированном состоянии Расчет круглого бруса на изгиб с кручением
Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании основных деформаций

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$

$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x$

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Примером бесконечно большой при ${x\to+\infty}$ может служить

Примером отрицательной бесконечно большой при $x\to0+$ может служить функция $f(x)=\ln x$

пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Найдём предел $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}$

Найдём предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$

Пределы при разных условиях

Пусть и рассматривается функция $f(x)=2\sin x+1$ . Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$
Покажем, что предел функции $f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $x\to+\infty$ равен числу 3.
Покажем, что предел последовательности $y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Сравнение бесконечно малых

Три величины ${\alpha}(x)=x^2-3x+2$ , ${\beta}(x)=x^2+4x-5$ , ${\gamma}(x)=x^2-2x+1$ являются бесконечно малыми при базе $x\to1$

Используя первый замечательный предел, легко видеть, что при $a\ne0$ и $b\ne0$ $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{bx}= \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}... ...}{b}\cdot \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}=\dfrac{a}{b}\cdot1=\dfrac{a}{b}\ne0.$

При базе $x\to0$ величины и , где и $C=\mathrm{const}\ne0$ , $D=\mathrm{const}\ne0$ , имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел $\dfrac{Cx^t}{Dx^t}=\dfrac{C}{D}$ постоянно и его предел равен $\dfrac{C}{D}\ne0$

Согласно первому замечательному пределу, $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$ Это означает, что

$\displaystyle \sin x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}x.$

Вычислим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Вычислим предел

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$

$\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$

$\begin{multline*} e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim... ...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}= \dfrac{x}{2}. \end{multline*}$
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$
Правило Лопиталя

Найдём предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sin^2x}$
Рассмотрим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}.$
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Рассмотрим функцию $f(x)=xe^{x^2}$
Найдём предел $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$

Элементы теории кривых Плоские кривые
Элементы теории кривых
Векторная функция скалярного аргумента
Предел вектор функции
Непрерывность вектор функции
Правила дифференцирования
Длина кривой Спрямляемая кривая
Теорема 1
Теорема 2
Теорема 3
Пример
Плоские кривые
Понятие кривизны и ее вычисление
Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой