Скалярное произведение

Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ${\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и ${\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $60^{\circ}$ .

Решение. В этой задаче не заданы координаты векторов в ортонормированном базисе ${\bf i},{\bf j},{\bf k}$ . Поэтому воспользоваться формулами (10.1), (10.3) так просто не получится.

Сделав схематический рисунок (рис. 10.24),

Рис.10.24.

убеждаемся, что вектор ${\bf d}_1$ , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле ${{\bf d}_1={\bf a}+{\bf b}}$ , а другой -- ${{\bf d}_2={\bf a}-{\bf b}}$ . Отсюда ${{\bf d}_1=3{\bf m}-{\bf n}}$ и ${{\bf d}_2={\bf m}+3{\bf n}}$ . В силу свойства 5 ( теорема 10.3) скалярного произведения получим

$\displaystyle \vert{\bf d}_1\vert^2= {\bf d}_1^2=(3{\bf m}-{\bf n})(3{\bf m}-{\bf n})=9{\bf m}^2-3{\bf m}{\bf n}-3{\bf m}{\bf n}+{\bf n}^2=$

$\displaystyle=9\vert{\bf m}\vert^2-6{\bf m}{\bf n}+ \vert{\bf n}\vert^2=9-6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+1=7.$

Аналогично, ${\bf d}_2=({\bf m}+3{\bf n})({\bf m}+3{\bf n})={\bf m}^2+6{\bf m}{\bf n}+9{\bf n}^2= 1+6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+9=13$ .

Ответ: 7 и 13.

Основные задачи на прямую и плоскость

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.
Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ : Теоретическая механика Условие равновесия произвольной плоской системы сил При равновесии главный вектор системы равен нулю.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую ${\gamma}$ (рис 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой