Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Пример Пусть производится замена $t={\varphi}(x)=3x-2$ , где $x\to2$ . Здравый смысл подсказывает нам, что если

приближается к 2 и

, то значения

будут приближаться к $3\cdot2-2=4$ , то есть база $x\to2$ при такой замене переходит в базу $t\to4$ . Это, конечно, верный результат но не всё так просто, как покажут нам следующие два примера.

Рис.2.13.Преобразование базы $x\to2$ при замене

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Пока что проверим формально результат, полученный нами с помощью интуитивных представлений о "стремлении". Пусть $E_{{\delta}}=(2-{\delta}2+{\delta})\diagdown \{2\}$ -- это произвольное окончание базы $x\to2$ . Посмотрим, во что это множество перейдёт при действии функции ${\varphi}(x)=3x-2$ . Поскольку эта линейная функция возрастает (её угловой коэффициент 3 положителен), то точки

будут лежать между теми, в которые переходят концы интервала, то есть между ${t_1={\varphi}(2-{\delta})=3(2-{\delta})-2=4-3{\delta}}$ и ${t_2={\varphi}(2+{\delta})=3(2+{\delta})-2=4+3{\delta}}$ , и не будут совпадать с ${t_0={\varphi}(2)=4}$ . Тем самым получили, что ${{\varphi}(E_{{\delta}})=(4-3{\delta}4+3{\delta})\diagdown \{4\}}$ . При произвольном ${{\delta}>0}$ получаем произвольную проколотую окрестность точки 4 с полушириной

: ${{\varphi}(E_{{\delta}})=E'_{{\delta}'}}$ . Очевидно, что набор множеств $E'_{{\delta}'}$ -- это база ${t\to4}$ , как мы и предполагали, исходя из интуитивных соображений.

Основные задачи на прямую и плоскость

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.
Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ : Теоретическая механика Условие равновесия произвольной плоской системы сил При равновесии главный вектор системы равен нулю.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую ${\gamma}$ (рис 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой