Замена переменного

Пример 2.6 Пусть производится замена

и $x\to0$ . Рассуждая, как в предыдущем примере, получаем, что, наверное,

тоже стремится к 0, то есть нужно рассматривать базу $t\to0$ . Это, однако, не вполне верно. Следующий чертёж показывает, что образами окончаний $E_{{\delta}}=(-{\delta}{\delta})\diagdown \{0\}$ базы $x\to0$ служат не проколотые окрестности точки

(являющиеся окончаниями базы $t\to0$ ), а интервалы $E'=(0,{\delta}')$ , где ${\delta}'={\delta}^2$ , примыкающие на оси

(если её расположить горизонтально) справа к точке

Рис.2.14.График

и преобразование базы $x\to0$ в базу $t\to0+$

Набор таких интервалов образует правостороннюю базу $t\to0+$ , а не двустороннюю базу $t\to0$ , как мы поторопились предположить. В некоторых примерах разница между этими базами может быть существенной при вычислении предела.

(Ниже мы рассмотрим предел $\lim\limits_{x\to0}x^2e^{-\frac{1}{x^2}}$ , в кот

Основные задачи на прямую и плоскость

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.
Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ : Теоретическая механика Условие равновесия произвольной плоской системы сил При равновесии главный вектор системы равен нулю.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую ${\gamma}$ (рис 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой