Пределы при разных условиях

Покажем, что предел функции $f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $x\to+\infty$ равен числу 3.

Рис.2.6.График функции $y=\dfrac{3x-2}{x+1}$

Фиксируем ${\varepsilon}>0$ и подберём по этому числу ${\varepsilon}$ такое число

, что при любом

выполняется неравенство

$\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.$

Сразу будем считать, что

-- неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде $\left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}$ или $\vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$ . Так как $x>a\geqslant 0$ , то

и неравенство имеет вид $x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$ , откуда $x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$ . Если теперь взять число $a_{{\varepsilon}}$ равным $\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$ (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при $x>a_{{\varepsilon}}$ будет выполняться неравенство $\left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}$ ; это означает, что

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,$

или $\dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3$ .

Основные задачи на прямую и плоскость

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.
Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ : Теоретическая механика Условие равновесия произвольной плоской системы сил При равновесии главный вектор системы равен нулю.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую ${\gamma}$ (рис 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой

Предел функцииНахождение дифференциала функции Интегрирование тригонометрических функций

Работа с отдельными объектами группы Adobe Illustrator Формирование дизайна