Извлечение корня из комплексного числа

Пример Найдите корни уравнения ${z^4=-1}$ .

Решение. Запишем число

в тригонометрической форме:

$\displaystyle -1=1\cdot (\cos\pi+i\sin\pi),$

то есть ${\rho=1}$ , ${\psi=\pi}$ . Тогда

$\displaystyle z=\sqrt[4]1\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}4=i\sin\frac{\pi+2\pi k}4\right), k=0,1,2,3.$

При

получим:

$\displaystyle z_1=\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4=\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$

При

получим:

$\displaystyle z_2=\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$

При

получим:

$\displaystyle z_3=\cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4=-\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$

При

получим:

$\displaystyle z_4=\cos\frac{7\pi}4+i\sin\frac{7\pi}4=\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$

Ответ: ${z_1=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , ${z_2=-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , ${z_3=-\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ , ${z_4=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ .

Основные задачи на прямую и плоскость

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.
Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ : Теоретическая механика Условие равновесия произвольной плоской системы сил При равновесии главный вектор системы равен нулю.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую ${\gamma}$ (рис 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой

Предел функцииНахождение дифференциала функции Интегрирование тригонометрических функций

Работа с отдельными объектами группы Adobe Illustrator Формирование дизайна