Пределы при разных условиях

Пусть

и рассматривается функция $f(x)=2\sin x+1$ . Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$

Для этого фиксируем произвольное число ${\varepsilon}>0$ , задающее окрестность $(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$ , и выясним, при каких

значения функции

будут попадать в эту окрестность точки1.

Рис.2.2.График $y=2\sin x+1$

Попадание значений

в окрестность $(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$ означает, что выполняется неравенство ${\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}$ , то есть ${\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$ . При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки ${x_0=0}$ . Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при ${\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$ . Таким образом, если взять ${{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$ (это число больше 0), то при ${x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}$ будет выполнено неравенство ${\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}$ , что и означает, что предел равен числу 1: $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1$ , или ${2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}$ .

Основные задачи на прямую и плоскость

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.
Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ : Теоретическая механика Условие равновесия произвольной плоской системы сил При равновесии главный вектор системы равен нулю.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую ${\gamma}$ (рис 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой

Предел функцииНахождение дифференциала функции Интегрирование тригонометрических функций

Работа с отдельными объектами группы Adobe Illustrator Формирование дизайна