Исследование
функций с помощью производной Возрастание и убывание функций
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке
[a, b] и возрастает
на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке
(а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает
на отрезке [a, b].
Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой,
если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в
бесконечность стремится к нулю.
Векторная функция скалярного
аргумента
Свойства производной векторной
функции скалярного аргумента
Параметрическое
задание функции
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической
форме
Производная
функции, заданной параметрически
Кривизна
плоской кривой
Свойства эволюты
Кривизна
пространственной кривой
О формулах Френе
- Пример:
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
и построить ее - Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график.график. - Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график.
Функция F(x) называется первообразной
функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F¢(x) = f(x).
Интегрирование
некоторых тригонометрических функций
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство
из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые
главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида 
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx..
Биноминальным
дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где
m, n,
и p – рациональные числа.
Вычисление
определенного интеграла Что касается
приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются
от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных
интегралов.
Точно так же применяются
методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же
приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных
функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо
распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы
интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно
пределы интегрирования.
-
-
Пример:
Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
Пример. Найти полный дифференциал функции 
.
Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке
А(1, 2) по направлению вектора 
. В (3, 0).
Кратные
интегралы Как известно, интегрирование
является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно,
что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем
с рассмотрения двойных интегралов.
Пример. Вычислить интеграл 
, если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у
= 2. Тройной интеграл
При рассмотрении
тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических
выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу,
т.к. существенных различий между ними нет.
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла
интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования
является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.
найти члены, содержащие
х
найти члены, содержащие
.