Примеры решения задач Несобственные интегралы первого и второго рода


Вычислить тройной интеграл Изображение объектов трехмерного пространства Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле Интегрирование по части области Абстракция и инкапсуляция

Primmat.ru

Инженерная графика
Начертательная геометрия

Методы проецирования

Поверхности

Преобразование чертежа

Позиционные задачи

Ядерная физика, задачи
Графические методы решения задач

Свойства ядер, модели

Реакции ядра, частицы

Структура ядра

Капельная модель ядра

Деление ядер

Нейтронная физика
История создания атомного и термоядерного оружия

Законы радиоактивного распада
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Энергия распада
Энтропия

Взаимодействие нейтронов с ядрами

Задачи на ядерные реакции

Деление и синтез ядер

Сборник примеров и задач

Законы сохранения и взаимодействия

Электростатика

Электромагнитное взаимодействие

Электростатическом поле

Физика справочник

Термодинамика

СИ Частотный спектр

Кинематика

Электpостатика

Волновая оптика

Динамика
Инструмент Paintbrush (Кисть)

Молекулярное строение

Электрическое поле

Радиоактивность

Геометрическая оптика

Квантовая механика

Электромагнитное поле

Оптика

Механика

Физические константы

Тепловое излучение

Прикладная математика и физика

Электромагнитное взаимодействие

Закон Кулона

Фотоэлектрический эффект

Электромагнетизм

Электромагнетизм

Электричество

Атомная физика

Математика

Нахождение дифференциала
Вычисление двойного интеграла

Интегрирование тригонометрических функций
Вычислить работу векторного поля
Одночлены и многочлены

Интегральное исчисление

Применение интегралов

Дифференциальные уравнения

Вычисление интегралов

Неопределенный интеграл

Несобственные интегралы

Вычисление объема тела

Вычисление длин дуг

Вычисление площадей фигур

Площадь в полярных координатах

Площадь в декартовых координатах

Кратные интегралы

Методы интегрирования

Первообразная, производная

Формула замены

Определенные интегралы

Степенные ряды

Решение дифф. уравнения

Линейные дифф.уравнения

Дифференциал задачи

Комплексные числа

Матрицы

Векторная алгебра

Предел функции

Исследования функции

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Общие свойства пределов

Построение графика

Матрицы свойства решения

Производная функции

Свойства комплексных чисел

Асимптоты графика функции

Свойства несобственных интегралов первого рода

Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$
Франческо Бартоломео Растрелли (1700-1771) Екатерининский (Большой) дворец
Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$
Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$ Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится. Капиллярные явления Основы молекулярной физики и термодинамики
Рассмотрим теперь несобственный интеграл $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx.$
Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$
Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$
Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$
Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$
Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y;z)=xy^2z+3x^2yz^3$
Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2+2xy$
Матрицы, Комплексные числа

Определение, обозначения и типы матриц

Определение Матрицей размеров $m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Сложение матриц и умножение на число

Определение Суммой матриц и размеров $m\times n$ является матрица таких же размеров, у которой ${c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$ , ${i=1,2,\dots,m}$ , ${j=1,2,\dots,n}$ .
Символ суммирования

Замечание Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина.
Умножение матриц

Пример Даны матрицы $A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $B=\left(\begin{array}{rr} 3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения и .
Замечание Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).
Докажем дистрибутивность умножения
Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.
Определители

Предложение При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть ${\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .
Предложение Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
Пример
Алгоритм создания нулей в столбце
Обратная матрица

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .
Пример Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .
Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.
Пример Матрица примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.
Алгоритм нахождения ранга матрицы
Теорема Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда один из ее столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

Комплексные числа
Построение поля комплексных чисел
Определение Числа вида , где и -- вещественные числа, называются комплексными числами.
Примеры
Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Модуль и аргумент
Тригонометрическая форма комплексного числа
Примеры
Показательная форма комплексного числа
Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой $\displaystyle e^{i{\varphi}}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi},$ которая носит название формулы Эйлера.
Примеры
Извлечение корня из комплексного числа

Найдите корни уравнения ${z^4=-1}$ .
Корни многочленов
В разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами" мы видели, что в поле комплексных чисел любой квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами имеет корни, этих корней два, если дискриминант отличен от нуля, и один в противном случае. Теперь, когда мы имеем возможность извлекать корни из комплексных чисел, мы можем найти корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решить уравнение $\displaystyle ax^2+bx+c=0,$
Примеры