Примеры решения задач Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов

дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Вычислить тройной интеграл Изображение объектов трехмерного пространства Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле Интегрирование по части области Абстракция и инкапсуляция

Primmat.ru

Инженерная графика
Начертательная геометрия
Методы проецирования
Поверхности
Преобразование чертежа
Позиционные задачи
Ядерная физика, задачи
Графические методы решения задач
Свойства ядер, модели
Реакции ядра, частицы
Структура ядра
Капельная модель ядра
Деление ядер
Нейтронная физика
История создания атомного и термоядерного оружия
Законы радиоактивного распада
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты
Энергия распада
Энтропия
Взаимодействие нейтронов с ядрами
Задачи на ядерные реакции
Деление и синтез ядер
Сборник примеров и задач
Законы сохранения и взаимодействия
Электростатика
Электромагнитное взаимодействие
Электростатическом поле
Физика справочник
Термодинамика
СИ Частотный спектр
Кинематика
Электpостатика
Волновая оптика
Динамика
Инструмент Paintbrush (Кисть)
Молекулярное строение
Электрическое поле
Радиоактивность
Геометрическая оптика
Квантовая механика
Электромагнитное поле
Оптика
Механика
Физические константы
Тепловое излучение
Прикладная математика и физика
Электромагнитное взаимодействие
Закон Кулона
Фотоэлектрический эффект
Электромагнетизм
Электромагнетизм
Электричество
Атомная физика
Математика

Нахождение дифференциала

Вычисление двойного интеграла
Интегрирование тригонометрических функций
Вычислить работу векторного поля
Одночлены и многочлены
Интегральное исчисление
Применение интегралов
Дифференциальные уравнения
Вычисление интегралов
Неопределенный интеграл
Несобственные интегралы
Вычисление объема тела
Вычисление длин дуг
Вычисление площадей фигур
Площадь в полярных координатах
Площадь в декартовых координатах
Кратные интегралы
Методы интегрирования
Первообразная, производная
Формула замены
Определенные интегралы
Степенные ряды
Решение дифф. уравнения
Линейные дифф.уравнения
Дифференциал задачи
Комплексные числа
Матрицы
Векторная алгебра
Предел функции
Исследования функции
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Общие свойства пределов
Построение графика
Матрицы свойства решения
Производная функции
Свойства комплексных чисел
Асимптоты графика функции

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ ,

при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Федот Иванович Шубин (1740— 1805) Федот Иванович Шубин (1740— 1805), очень популярный скульптор, выполнял множество заказов. В 1773 г. он был избран в члены Академии художеств. Среди его работ особенно привлекательны женские образы. В портрете М. Р. Паниной (середина 70-х гг.) уже стареющая, но ещё красивая женщина, гордая и независимая, представлена в простом домашнем платье, украшенном бантом и кружевами. Примеры Математика примеры решения задач математический анализ

Вычислим площадь $ Q$ поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси $ Ox$ части линии $ y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси $ Ox$ .

Найдём площадь $ S$ ограниченной области, лежащей между осью $ Ox$ и линией $ y=x^3-x$ .

Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$ Теорема Гаусса Электричество и электромагнетизм

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$

Вычисление длины плоской линии

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду) $\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали, проведённых к поверхности уровня функции $ f(x;y;z)=x^2+y^2+4z^2$ , проходящей через точку $ M_0(-2;1;-1)$ .

Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$

Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками $ y=x^3$ и $ y=x^5$

Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ .

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в плоскости $ xOy$ рассматривается линия $ y=\cos x$ на отрезке $ \bigl[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\bigr]$

Вычисление длины плоской линии

  Найдём уравнения касательной и нормали, проведённых к линии уровня $ C=3$ функции $ f(x;y)=2x^2y^3+xy^4$ в точке $ M_0(1;1)$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Вычисление длины плоской линии

Пусть линия на плоскости с полярными координатами $ (r;{\varphi})$ задана уравнением $ r=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ ($ a>0$ ).

Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $\displaystyle z=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9},$

Пусть поверхность $ S$ задана уравнением $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

Геометрические приложения определенного интеграла

Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Векторная алгебра Линия и плоскость в пространстве

Определение вектора

Операции над векторами

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c-- его диагональю

Теорема Для любых векторов $ {\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел $ {\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства: $ {\bf a}+{\bf b}={\bf b}+{\bf a}$ (свойство коммутативности операции сложения);

Разложение вектора по базису

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора

Линейная зависимость векторов

Предложение Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима

Система координат и координаты вектора

Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку $ O$ и возьмем произвольную точку $ M$ . Радиус-вектором точки $ M$ по отношению к точке $ O$ называется вектор $ \overrightarrow {OM}$ .

Если в пространстве выбран базис, то вектор $ \overrightarrow {OM}$ раскладывается по этому базису. Таким образом точке $ M$ можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.

Проекции вектора

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций

Скалярное произведение

Теорема   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Векторное произведение

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Смешанное произведение

Определение Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Пусть в правом ортонормированном базисе заданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1,{\gamma}_2,{\gamma}_3)}$ , $ {{\bf d}=({\delta}_1,{\delta}_2,{\delta}_3)}$ . Цель данного раздела-- научиться определять, образуют ли векторы a,b,c базис, и, в случае положительного ответа на этот вопрос, научиться находить координаты вектора d в базисе a,b,c.

Линия и плоскость в пространстве

Уравнение поверхности

Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность $ S$ . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности $ S$ в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности $ S$ удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности $ S$ , этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение плоскости

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Теорема Всякое уравнение(11.3), в котором $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору $ {\bf n}=(A,B,C)$ .

Изображение плоскости

Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля

В этом случае находим точки пересечения плоскости с осями координат.

Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю

В этом случае плоскость проходит через начало координат $ O(0;0;0)$ и других точек пересечения с осями нет.

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю В этом случае плоскость параллельна оси того переменного, которое в явном виде отсутствует в уравнении плоскости (коэффициент перед этим переменным равен нулю).

Два коэффициента при переменных равны нулю

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Прямая на плоскости

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Замечание Если в качестве параметра $ t$ взять время, то точка $ M$ будет двигаться по прямой со скоростью $ \vert{\bf p}\vert$ , причем в момент времент $ {t=0}$ ее положение совпадает с точкой $ M_0$ . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

Основные задачи на прямую и плоскость

Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора.

Пример Найдите точку пересечения прямой $ \frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости $ {x+y+2z-1=0}$ .

Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Пример Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ :

Производная и дифференциалВекторная алгебра

Работа с символьными объектами Adobe Illustrator Дискретные по уровню и по времени сигналы Дифференциальные уравнения