Примеры решения задач Интегрироване тригонометрических функций


Вычислить тройной интеграл Изображение объектов трехмерного пространства Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле Интегрирование по части области Абстракция и инкапсуляция

Primmat.ru

Инженерная графика
Начертательная геометрия

Методы проецирования

Поверхности

Преобразование чертежа

Позиционные задачи

Ядерная физика, задачи
Графические методы решения задач

Свойства ядер, модели

Реакции ядра, частицы

Структура ядра

Капельная модель ядра

Деление ядер

Нейтронная физика
История создания атомного и термоядерного оружия

Законы радиоактивного распада
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Энергия распада
Энтропия

Взаимодействие нейтронов с ядрами

Задачи на ядерные реакции

Деление и синтез ядер

Сборник примеров и задач

Законы сохранения и взаимодействия

Электростатика

Электромагнитное взаимодействие

Электростатическом поле

Физика справочник

Термодинамика

СИ Частотный спектр

Кинематика

Электpостатика

Волновая оптика

Динамика
Инструмент Paintbrush (Кисть)

Молекулярное строение

Электрическое поле

Радиоактивность

Геометрическая оптика

Квантовая механика

Электромагнитное поле

Оптика

Механика

Физические константы

Тепловое излучение

Прикладная математика и физика

Электромагнитное взаимодействие

Закон Кулона

Фотоэлектрический эффект

Электромагнетизм

Электромагнетизм

Электричество

Атомная физика

Математика

Нахождение дифференциала
Вычисление двойного интеграла

Интегрирование тригонометрических функций
Вычислить работу векторного поля
Одночлены и многочлены

Интегральное исчисление

Применение интегралов

Дифференциальные уравнения

Вычисление интегралов

Неопределенный интеграл

Несобственные интегралы

Вычисление объема тела

Вычисление длин дуг

Вычисление площадей фигур

Площадь в полярных координатах

Площадь в декартовых координатах

Кратные интегралы

Методы интегрирования

Первообразная, производная

Формула замены

Определенные интегралы

Степенные ряды

Решение дифф. уравнения

Линейные дифф.уравнения

Дифференциал задачи

Комплексные числа

Матрицы

Векторная алгебра

Предел функции

Исследования функции

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Общие свойства пределов

Построение графика

Матрицы свойства решения

Производная функции

Свойства комплексных чисел

Асимптоты графика функции

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$
Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$
Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$ Скульптура Бартоломео Карло Растрелли (1675—1744) Памятник Петру I
Показательная функция Угол между плоскостями. Математика примеры решения задач математический анализ
Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$
Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$
Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$
Найдём интеграл $\int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла Принцип суперпозиции Электричество и электромагнетизм
Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$
Planix Home 3D Architect Простая программа для строительного, интерьерного и ландшафтного проектирования

Найдём интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\,dx.$
Вычислим интеграл $\displaystyle \int\sin^5x\sqrt[3]{\cos x}\,dx.$
Интегралы от произведений синусов и косинусов

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$
Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx.$
Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx.$
Найдём интеграл $\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx.$
Интеграл произведения синусов и косинусов

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

пример
пример
задача

Кривые и поверхности Линейные пространства уравнения
Кривые второго порядка

Определение Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка $\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

Окружность
Эллипс

Определение 12.3 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.
Гипербола
Парабола

Пример Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.
Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и $\tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".
Пример Нарисуйте кривую ${x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.
Пример Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$
Поверхности второго порядка

Определение Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением $\displaystyle ax^2+by^2+cz^2+dxy+fxz+gyz+hx+ky+lz+m=0,$

Сфера
Эллипсоид

Сечения эллипсоида координатными плоскостями
Гиперболоиды

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$

Определение Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$
Конус

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,$

Параболоиды

Определение Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$
Цилиндры

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.
Параллельный перенос системы координат

Пример Нарисуйте поверхность .

Линейные пространства уравнения
Системы линейных уравнений
     Определение 15.1 Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...ots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$

Правило Крамера

Теорема (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными ${\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное.
Пример Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3, \\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$
Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Теорема Кронекера-Капелли
Однородная система уравнений
Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Примеры
Найдите общее решение системы уравнений
Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

Группы
Пример
Кольца
Пример
Поля

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры
По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.
Базис и размерность пространства
Теорема В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Координаты векторов
Изменение координат вектора при изменении базиса
Пример
Евклидово пространство
Определение Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.
Пример
Аффинное -мерное пространство

Линейные преобразования

Определение и примеры
Пример
Упражнение Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $\mathcal{A}$ -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой
Матрица линейного преобразования
Пример
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
Собственные числа и собственные векторы
Определение 19.3 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования $\mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу ${\lambda}$ , если ${\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ .
Пример
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
Теорема Пусть собственные векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $\mathcal{A}$ соответствуют собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду
Теорема Если матрица -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Пример Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$