Площадь в полярных координатах

Найдём площадь

области, ограниченной частью спирали $r=a{\varphi}^2$ (

) при ${\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $[0;4\pi^2a]$ оси

(см. рис.).

Рис.6.7.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx..

Применяя формулу (6.3), получаем:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(a{\varphi}^2)^2\;d{\varphi}= \frac{a^... ...arphi}^5}{5}\Bigl\vert _0^{2\pi}=\frac{a^2}{10}(2\pi)^5= \frac{16a^2\pi^5}{5}.$

Если область $\mathcal{D}$ имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей ${\varphi}={\alpha}$ и ${\varphi}={\beta}$ (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: $r=f_1({\varphi})$ и $r=f_2({\varphi})$ , причём $f_1({\varphi})\leqslant f_2({\varphi})$ при всех ${\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ (см. рис.), то площадь

области $\mathcal{D}$ можно представить как разность двух площадей:

-- площади области, лежащей между лучами ${\varphi}={\alpha}$ , ${\varphi}={\beta}$ и линией $r=f_2({\varphi})$ , -- и

-- площади области, лежащей между лучами ${\varphi}={\alpha}$ , ${\varphi}={\beta}$ и линией $r=f_1({\varphi})$ .

Примеры решения задач по высшей математике
Нахождение дифференциала функции
	Функции нескольких переменных и их дифференцирование Пределы функций нескольких переменных Приближённые вычисления с помощью дифференциала Свойства градиента и производной по направлению
Интегрироване тригонометрических функций
	Интегралы от произведений синусов и косинусов Линейное (векторное) пространство Математика примеры решения задач математический анализ
Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов
	Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений Вычисление длины плоской линии Адиабатический процесс Основы молекулярной физики и термодинамики
Вычисление неберущихся интегралов Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл
Вычисление неопределенного интеграла
	Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе
Несобственные интегралы первого и второго рода
	Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода
Первообразная и производная
	Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции
Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле Формула интегрирования по частям

Площадь в полярных координатах

Примеры решения задач по высшей математике