Пуассоновский поток Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную Классы С++
Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Матрицы | Предел функции Найдём дифференциал функции трёх переменных Цветовые заливки, обводки, внешний облик, стили и эффекты Тройной интеграл в цилиндрических координатах
 
дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$ (см. рис.).

Рис.6.10.



Очевидно, что рассматриваемое тело $ {\Omega}$ проектируется на ось $ Ox$ в отрезок $ [-R;R]$ , а при $ x\in(-R;R)$ поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами $ y$ и $ z=2y$ , где $ y$ можно выразить через $ x$ из уравнения цилиндра:

 

$\displaystyle y=\sqrt{R^2-x^2}.$

Поэтому площадь $ S(x)$ поперечного сечения такова:

 

$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}y\cdot2y=y^2=R^2-x^2.$

Применяя формулу (6.5), находим объём тела $ {\Omega}$ :

 

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\int_{-R}^R(R^2-x^2)\;dx=\bigl(R^2x-\frac{x^3}{3}\bi... ... \bigl(R^3-\frac{R^3}{3}\bigr)- \bigl(-R^3+\frac{R^3}{3}\bigr)=\frac{4R^3}{3}.$

    

Пусть тело $ {\Omega}$ ограничено поверхностью, полученной вращением в пространстве $ Oxyz$ линии $ y=f(x)$ , лежащей в плоскости $ xOy$ и рассматриваемой при $ x\in[a;b]$ , вокруг оси $ Ox$ , а также (с боков) плоскостями $ x=a$ и $ x=b$ (см. рис.).

Рис.6.11.



Поскольку поперечными сечениями такого тела вращения служат круги радиуса $ {\vert y\vert=\vert f(x)\vert}$ , площадь поперечного сечения будет в этом случае выражаться формулой

 

$\displaystyle S(x)=\pi y^2=\pi(f(x))^2,$

а объём тела вращения, как следствие формулы (6.5), равен

 

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^b(f(x))^2\;dx,$

или, более кратко,

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^by^2\;dx.$(6.6)

      

Примеры решения задач по высшей математике

Нахождение дифференциала функции

Функции нескольких переменных и их дифференцирование Пределы функций нескольких переменных Приближённые вычисления с помощью дифференциала Свойства градиента и производной по направлению

Интегрироване тригонометрических функций
Интегралы от произведений синусов и косинусов Линейное (векторное) пространство Математика примеры решения задач математический анализ
Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений Вычисление длины плоской линии Адиабатический процесс Основы молекулярной физики и термодинамики

Вычисление неберущихся интегралов Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл
Вычисление неопределенного интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе
Несобственные интегралы первого и второго рода
Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода
Первообразная и производная
Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции
Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле Формула интегрирования по частям

Производная и дифференциалВекторная алгебра

Работа с символьными объектами Adobe Illustrator Дискретные по уровню и по времени сигналы Дифференциальные уравнения