Примеры решения задач Нахождение дифференциала функции


Вычислить тройной интеграл Изображение объектов трехмерного пространства Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле Интегрирование по части области Абстракция и инкапсуляция

Primmat.ru

Инженерная графика
Начертательная геометрия

Методы проецирования

Поверхности

Преобразование чертежа

Позиционные задачи

Ядерная физика, задачи
Графические методы решения задач

Свойства ядер, модели

Реакции ядра, частицы

Структура ядра

Капельная модель ядра

Деление ядер

Нейтронная физика
История создания атомного и термоядерного оружия

Законы радиоактивного распада
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Энергия распада
Энтропия

Взаимодействие нейтронов с ядрами

Задачи на ядерные реакции

Деление и синтез ядер

Сборник примеров и задач

Законы сохранения и взаимодействия

Электростатика

Электромагнитное взаимодействие

Электростатическом поле

Физика справочник

Термодинамика

СИ Частотный спектр

Кинематика

Электpостатика

Волновая оптика

Динамика
Инструмент Paintbrush (Кисть)

Молекулярное строение

Электрическое поле

Радиоактивность

Геометрическая оптика

Квантовая механика

Электромагнитное поле

Оптика

Механика

Физические константы

Тепловое излучение

Прикладная математика и физика

Электромагнитное взаимодействие

Закон Кулона

Фотоэлектрический эффект

Электромагнетизм

Электромагнетизм

Электричество

Атомная физика

Математика

Нахождение дифференциала
Вычисление двойного интеграла

Интегрирование тригонометрических функций
Вычислить работу векторного поля
Одночлены и многочлены

Интегральное исчисление

Применение интегралов

Дифференциальные уравнения

Вычисление интегралов

Неопределенный интеграл

Несобственные интегралы

Вычисление объема тела

Вычисление длин дуг

Вычисление площадей фигур

Площадь в полярных координатах

Площадь в декартовых координатах

Кратные интегралы

Методы интегрирования

Первообразная, производная

Формула замены

Определенные интегралы

Степенные ряды

Решение дифф. уравнения

Линейные дифф.уравнения

Дифференциал задачи

Комплексные числа

Матрицы

Векторная алгебра

Предел функции

Исследования функции

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Общие свойства пределов

Построение графика

Матрицы свойства решения

Производная функции

Свойства комплексных чисел

Асимптоты графика функции

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Найдём производные по и функции $z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки уравнением $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$
Пределы функций нескольких переменных

Пусть ${\delta}>0$ . Назовём ${\delta}$ -окрестностью точки $x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса ${\delta}$ с центром в точке . Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой
Пределы функций нескольких переменных Множества $\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$
Найдём частные производные функции $f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным и .
Найдём дифференциал функции трёх переменных $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3.$
Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра Электростатика Электричество и электромагнетизм
Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$
Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Приближённые вычисления с помощью дифференциала Архитектура Москвы первой половины XVIII века В конце XVII в. в московской архитектуре появились постройки, соединявшие российские и западные традиции, черты двух эпох: Средневековья и Нового времени. В 1692— 1695 гг. на пересечении старинной московской улицы Сретенки и Земляного вала (Земляной вал - старинная система оборонительных сооружений; в 1683-1742 гг. был таможенной границей Москвы).

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$
Производные неявно заданной функции

Пусть функция $z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$
Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$
Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$
Свойства градиента и производной по направлению

Пусть в $\mathbb{R}^2$ задана функция $\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$
Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

Мгновенная скорость при прямолинейном движении
Касательная к кривой на плоскости

Определение
Производная

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке , правая производная и левая производная задаются, соответственно, формулами $\begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}$

Замечание
Теорема

Уильям Хогарт Серия «Карьера продажной женщины» Британский музей в Лондоне
Свойства производных

Замечания
Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $f(x)=\sqrt{x}$ в точке .
Рассмотрим функцию $f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $\dfrac{\sin x}{\cos x}$
Примеры
Дифференциал

Теорема Функция имеет дифференциал $df(x_0;{\Delta}x)$ в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке; при этом

$\displaystyle df(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x.$
Производная композиции

Примеры
Примеры
Инвариантность дифференциала
Производная обратной функции
Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Пример
Сводка основных результатов о производных
Производные высших порядков

Пример
Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных и от параметра , изменяющегося в пределах от ${\alpha}$ до ${\beta}$ :
$\displaystyle x={\varphi}(t); y=\psi(t); t\in({\alpha};{\beta}).$
Пусть функция $x={\varphi}(t)$ имеет обратную: $t={\varphi}^{-1}(x)=\Phi(x)$ . Тогда мы можем, взяв композицию функций $y=\psi(t)$ и $t=\Phi(x)$ , получить зависимость от : $y=\psi(\Phi(x))$ . Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде $x={\varphi}(t), y=\psi(t)$ , называется функцией , заданной параметрически.

Производная функции, заданной неявно

Приближённое вычисление производных
Примеры и упражнения
Примеры и упражнения 2
Свойства дифференцируемых функций
Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коши
Правило Лопиталя

На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.
Теорема 5.5(Правило Лопиталя) Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть $f(x)\to0$ и $g(x)\to0$ при $x\to x_0$ . Предположим, что при $x\in E,\;x\ne x_0$ функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных: $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$

Замечания
Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших

Сравнение бесконечно больших величин

Пусть $\mathcal{B}$ -- некоторая база, и и -- функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение функций и при базе $\mathcal{B}$ в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно больших и .
Примеры
Примеры