Основные постулаты квантовой механики Волновые свойства электронов

Волновые свойства электронов

Итак, электромагнитное излучение обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами (корпускулярно-волновой дуализм). Этот дуализм неразрывно связан с существованием постоянной Планка - кванта действия. Квантование действия можно получить, обобщив планковское правило квантования энергии осциллятора. Запишем гамильтониан осциллятора – интеграл движения:
.

Отсюда видно, что его фазовая траектория – эллипс с полуосями и . Площадь эллипса равна контурному интегралу по фазовой траектории (в классической механике он называется переменной действия):

где учтен планковский постулат. Мы получили правило квантования произвольной одномерной системы, совершающей периодическое движение. Оно впервые было выведено самим Планком.

В 1913 г. Бор (N. Bohr) применил это правило к атому водорода, рассмотрев частный случай движения электрона в кулоновском поле ядра по круговой орбите. Выбрав в качестве координаты азимутальный угол , для соответствующего канонического импульса - интеграла движения получаем условие квантования:

, или .

Для частицы массы , движущейся со скоростью по окружности радиуса (в плоскости ()), имеем , т.е. - компонента момента импульса, или углового момента, . Таким образом, - квант углового момента.

Учтем уравнение движения электрона с зарядом -в кулоновском поле ядра с зарядом ,

и квантование момента: . Отсюда находим квантованные значения энергии электрона в атоме водорода:
.