Знакопеременные ряды. Так мы будем называть ряды, которые содержат бесконечные множества как положительных, так и отрицательных членов. Естественно попытаться свести исследование сходимости таких рядов к исследованию сходимости рядов с положительными членами, для которых имеются рассмотренные выше тонкие признаки сходимости, поэтому введём понятие абсолютной сходимости.
Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Рассмотрим, вместе с рядом
, ряд, составленный из модулей членов ряда (А):
. Докажем теорему: если сходится ряд (|A|), то сходится исходный ряд (А).
Доказательство. Пусть сходится ряд (|A|). Это – сходящийся ряд, поэтому множество его частичных сумм
, ограничено. В частичной сумме исходного ряда
отделим множества неотрицательных и отрицательных членов; неотрицательным членам припишем индекс
, у отрицательных членов вынесем знак за скобку и их модулям припишем индекс
:
; здесь символом
обозначена сумма входящих в
положительных членов,
обозначает сумму модулей входящих в
. Итак,
.
- ограниченное множество, поэтому
. Но
,
. Суммы
тоже возрастают с ростом n и ограничены сверху, поэтому существуют конечные пределы
. Но
, т.е. исходный ряд (А) сходится, что и требовалось доказать.
Определение. Ряд
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
абсолютных величин его членов. Если ряд
Доказанная теорема сводит исследование некоторых знакопеременных рядов к положительным рядам. Для знакопеременных рядов определённой структуры - знакочередующихся рядов - также существует достаточный признак сходимости.
Знакочередующиеся ряды.
Определение. Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочерёдно то неотрицательны, то отрицательны.
Согласно этому определению, структура знакопеременных рядов такова:
, или
, где все
. Мы будем рассматривать первую из этих форм; вторая сводится к первой выносом знака за сумму.
Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Если
1. Последовательность, составленная из модулей членов знакочередующегося ряда, монотонно убывает, т.е.
;
2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.е.
,
то ряд сходится. Его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютную величину первого члена.
Доказательство. Рассмотрим последовательность чётных частичных сумм
ряда. Представим эту сумму в виде
. Из первого условия теоремы следует, что суммы в круглых скобках неотрицательны, поэтому последовательность
монотонно возрастает с ростом n. С другой стороны,
, т.е. эта последовательность ограничена сверху величиной
. Следовательно
. Но для нечётных сумм
, так как по второму условию теоремы
. Таким образом, частичные суммы имеют предел независимо от их четности или нечётности, т.е. ряд сходится, и его сумма
. Знак суммы совпадает со знаком первого члена.
С помощью признака Лейбница доказывается сходимость рядов
,
.
,
и т.д. Третий из этих рядов сходится абсолютно (
сходится), остальные - условно (ряды из модулей членов расходятся). Естественно, существуют знакочередующиеся ряды, для которых условия теоремы Лейбница могут не выполняться; если не выполняется второе условие - необходимый признак сходимости - то ряд заведомо расходится; если не выполняется первое условие, то задача должна решаться с помощью других соображений. Рассмотрим, например, ряд
Понятно, что первое условие теоремы Лейбница не выполняется (например,
), поэтому эта теорема неприменима и требуется изобрести индивидуальный способ решения этой задачи. Сгруппируем члены попарно:
Сумма в скобке
, поэтому последний ряд (со скобками) расходится. Последовательность чётных частичных сумм неограничена, поэтому исходный ряд расходится.
У теоремы Лейбница есть исключительно важный для приложений вывод - вывод о том, что сумма знакочередующегося ряда (или, как говорят, ряда лейбницевского типа) по модулю не больше модуля первого члена:
. На нашем уровне нас интересует, в основном, вопрос о сходимости ряда, но при решении практических задач вслед за вопросом о сходимости ряда встаёт вопрос о нахождении его суммы. Основной метод суммирования рядов - вычисление его частичной суммы с количеством слагаемых, обеспечивающим заданную точность. Рассмотрим два примера: найти суммы рядов
и
с погрешностью, не превышающей
. Оба ряда сходятся (пример 1 раздела 18.1.3.3.Признак сходимости Даламбера). Основная проблема здесь - найти, какое количество n слагаемых надо взять, чтобы частичная сумма
отличалась от суммы ряда S не более, чем на
. Так как
, где
- остаток ряда после n-го члена, и мы хотим принять
, то должно быть
. И здесь выясняется различие в технике оценки остатка для Лейбницевских рядов с одной стороны и произвольных рядов с другой стороны. Остаток знакочередующегося ряда - тоже знакочередующийся ряд, поэтому он подчиняется выводу теоремы Лейбница:
. Другими словами, остаток знакочередующегося ряда по модулю не превосходит первый свой член (или первый отброшенный член ряда). Поэтому для первого из рассматриваемых рядов условие
. Подбором убеждаемся, что первое значение n, для которого это условие выполняется, есть n =7 (7!=5040, 8!=40320), поэтому для нахождения суммы ряда
(при вычислениях с точностью до
в промежуточных выкладках необходимо удерживать не меньше, чем 5 знаков после запятой. Дальше мы поймём, что вычислено значение
с четырьмя верными цифрами после запятой).
Переходим ко второму ряду. Это знакопостоянный ряд, поэтому единственное, что мы можем сделать - напрямую оценить остаток ряда
. Пока единственный ряд, для которого мы знаем выражение суммы - геометрическая прогрессия
, поэтому надо в той или иной форме свести остаток к геометрической прогрессии. В данном случае это сделать просто:
. Для каждого из слагаемых в круглой скобке верна оценка
, поэтому
. Ряд в круглых скобках - геометрическая прогрессия со знаменателем
, его сумма равна
, следовательно,
. Теперь надо найти такое n, что
. Перебором различных значений n убеждаемся, что и в этом случае можно взять n =7 (выражение
равно 0,0002268 при n = 6 и 0,000028 при n = 8. Итак,
. Это значение числа е с четырьмя верными цифрами после запятой.
Система уравнений с двумя переменным Параллельные прямые
Основы теории изображения фигур на плоскости Трактаты о конических сечениях
Свойства гиперболического параболоида Найти произведение матриц
Числовые последовательности Преобразование графиков функций
Системы координат Исследование функции
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Степенная функция Графические методы решения задач
Дифференциальное исчисление функции одной переменной Теорема Коши Исследовать функцию Свойства дифференциала Вычисление производной
Элементы линейной алгебры Вычислить произведение матриц Пределы и непрерывность функции Непрерывность функции Векторная алгебра и аналитическая геометрия Умножение вектора на число Координаты вектора Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка
Неопределенный интеграл лекции и задачи
Математический анализ лекции и задачи
Конечные и бесконечные множества
Наибольший и наименьший пределы Предел функции свойства пределов Первое определение предела функции
Точки непрерывности и точки разрыва функции Критерий существования предела функции
Производная и дифференциал лекции и примеры
Геометрический смысл производной и дифференциала
Производная и дифференциал сложной функции
Гиперболические функции и их производные
Основы машиностроительного черчения
Учебник Инженерная графика
Выполнение графических работ
Теоретические основы построения чертежа
Изображение объектов трехмерного пространства
Русские художники начала 20 века
Кандинский работал темперой в «мозаичной» технике декоративной пуантили
Новая ассоциация художников серия графических работ в одном цвете Абстракционизм беспредметное, нефигуративное искусство
Архитектура Москвы 1920-1930 х годов генеральный план реконструкции Москвы Утопические проекты архитекторов дворец культуры автозавода им. Лихачева Коммуна и человек. Жилые дома и клубы
Ассоциация художников революционной России Объединения русских художников и скульпторов 1920-1930 х годов Общество московских художников Общество русских скульпторов
Русские художники шестидесятники Фаворский Владимир Андреевич
Лианозовская школа Раннехристианская скульптура. персональные выставки художников Восточное возрождение Китай, Грузия Восточный Ренессанс
Палеологовский ренессанс Западное возрождение Общая характеристика эстетики Возрождения Грузинский Ренессанс XII в. Западный Ренессанс
Итальянский Ренессанс Противоречивость эстетики Ренессанса поэт и философ Ренессанса городской тип возрожденческой культуры
Типы возрожденческой неоплатонической эстетики Фома Аквинский Проторенессанс XIII век Философская основ
Китайские художники-пейзажисты Китайские средневековые художники Японские художники дикой природы
Во Франции мыслители эпохи Просвещения
Живопись и архитектура Франции
Франсиско Гойя История живописи романтизм пейзаж
Фотография Фотожурнализм
Моне и импрессионизм Американские художники
Промышленная архитектура и эстетика века машин
Поль Сезанн «Натюрморт с яблоками»
История развития персонального компьютера игровые компьютеры интегральные схемы транзисторы электронные лампы механические компьютеры
Ядерные топливные циклы Добыча урановой руды Реакторный плутоний Ториевый топливный цикл ядерная энергетика закрытого топливного цикла Восстановленный уран дозы облучения обогащенный уран
Дополнительные сетевые службы Основные концепции Active Directory
Механизмы репликации каталогов
Доменная структура Active Directory
Схемы именования объектов в Active Directory
Состав диспетчера доступа для ОС семейства Windows
Система массового обслуживания «Процессор — оперативная память»
Контроль корректности функционирования системы защиты
Антивирусная защита Межсетевое экранирование
Политика информационной безопасности предприятия.
Увеличение загрузки вычислительного ресурса
Maya 3D графика в кино и телевидении
Композиция изображения
Обзор интерфейса Maya
Ваша первая анимация
Дополнительные приемы работы с NURBS-объектами
Освещение Камеры и визуализация
Оптимизация процесса моделирования
Работа с Maya для пользователей МАХ
Интерактивный режим визуализации
