Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Приложения производной

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Геометрический смысл теоремы

В точке касательная к графику функции параллельна оси 0x (рис. 14).

Рис. 14

Теорема Ролля. Пусть функция : 1) определена и непрерывна на отрезке ; 2) дифференцируема на интервале ; 3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть

Тогда внутри отрезка   существует по крайней мере одна точка в которой производная равна 0, то есть .

Геометрический смысл теоремы

Рис. 15

Существует по крайней мере одна точка на в которой касательная к графику функции будет параллельна оси  (рис. 15).

Теорема Лагранжа. Пусть функция

1) определена и непрерывна на отрезке

2) дифференцируема в интервале .

Тогда внутри отрезка   существует по крайней мере одна точка   в которой

 или . (1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Геометрический смысл теоремы

Найдётся хотя бы одна точка , в которой касательная к графику функции  параллельна хорде, проходящей через точки  и  (рис. 16).

Рис. 16

Заметим, что теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Пример 1. Удовлетворяет ли функция  условиям теоремы Ферма на отрезке ?

Р е ш е н и е

Функция достигает наименьшего значения, равного 0 на левом конце отрезка и наибольшего значения, равного 1, на правом конце отрезка. Условие теоремы не выполнено. Производная функции  при  равна 0, при  равна 2. Таким образом, несмотря на то, что функция в точке  достигает наибольшего значения и на этом конце отрезка имеет конечную производную, эта производная отлична от нуля.

Пример 2. Удовлетворяет ли функция  условиям теоремы Ролля на отрезке

Р е ш е н и е

Функция удовлетворяет первому и третьему условиям теоремы Ролля, так как она непрерывна на  и на концах этого отрезка принимает равные значения  Второе условие теоремы не выполнено, так как в точке   производной функция не имеет. В этой точке существуют лишь односторонние производные: слева, равная ; справа, равная . Поэтому к данной функции теорема Ролля не применима.

Пример 3. Удовлетворяет ли функция  условиям теоремы Лагранжа на отрезке ?

Р е ш е н и е

Функция  и непрерывна на отрезке  и имеет конечную производную   на интервале , поэтому удовлетворят условиям теоремы Лагранжа. Точку с найдем из уравнения:


Ядерное топливо http://smutc.ru/toxicity/index3.html
Сборник задач с решениями по математике