Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Дифференциал

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:  где  — бесконечно малая величина, при .

Дифференциалом функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению на :

Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции  при  и

Р е ш е н и е

Найдем

.

.

При  и  имеем  и . Различие между  и составляют 0,02 или 0,5%.

Теперь становится понятным обозначение производной

,

это отношение двух дифференциалов.

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Р е ш е н и е

.

Из сказанного выше следует, что приращение функции  отличается от дифференциала  на бесконечно малую величину. Поэтому при достаточно малых значениях  имеем , тогда

.

Эту формулу можно использовать для приближенных вычислений.

Пример 3. Найти приближенно .

Р е ш е н и е

Найдем приближенное значение функции  при , исходя из ее точного значения при .

,

 или в радианах .

Найдем  .

При  получим

.

Тогда .


Сборник задач с решениями по математике