Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Геометрическим изображением функции двух переменных

z = f (x, y) (6.1)

в прямоугольной системе координат является некоторая поверхность. Уравнение (6.1) может быть представлено в виде: F (x, y, z) = 0. Если это уравнение является уравнением второй степени, то поверхность, которую оно представляет, называется поверхностью второго порядка. Рассмотрим некоторые из них.

6.1. Цилиндрическая поверхность

Пусть L – некоторая линия в пространстве (назовем ее направляющей). Если через каждую точку этой линии провести прямую, параллельную некоторой прямой l (назовем ее образующей), получим цилиндрическую поверхность.

Уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой лежит в плоскости ХОУ, а образующая параллельна оси OZ, имеет вид: F (x, y) = 0. Эта поверхность изображена на рис. 1.

 


Аналогично уравнения F (x, z) = 0 и F (у, z) = 0 определяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям ОУ и ОХ соответственно.

Примеры канонических уравнений цилиндров второго порядка:

 = 1 -  эллиптический цилиндр (направляющая –

эллипс с полуосями а и b, образующая параллельна оси OZ) (рис. 2).

 = 1 -  гиперболический цилиндр (направляющая –

 гипербола, образующая параллельна оси ОУ)

 (рис. 3).

у2 = 2 p z - параболический цилиндр (направляющая –

  парабола, образующая параллельна оси ОХ)

 (рис. 4).

 


 Рис. 2

 


Рис. 3 

 
 


Рис. 4

6.2. Эллипсоид

Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид:

 +  = 1.

Чтобы изобразить эту поверхность на чертеже, применим “метод сечений”. Линия пересечения эллипсоида с плоскостью ХОУ определяется системой уравнений:

Отсюда видно, что плоскость ХОУ пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а и b (рис. 2). Аналогичная картина получается при пересечении эллипсоида с координатными плоскостями ХОZ и УОZ. Линии пересечения – эллипсы с полуосями а, c и b, с соответственно (рис. 2).

 


Рис. 2

Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если а = b = c = R, эллипсоид превращается в сферу:

x2 + y2 + z2 = R2.

6.3. Однополостный гиперболоид

Каноническое уравнение:   -  = 1.

Наименование “гиперболоид” происходит от того, что среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Например, линия пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью УОZ (рис. 3) задается системой уравнений - это гипербола с мнимой осью OZ:

 (1)

 


Рис. 3

Любая плоскость, параллельная плоскости ХОУ, пересекает гиперболоид по эллипсу (рис. 3):

 (2)

в частности,

 (3)

Двуполостный гиперболоид

Поверхность, представляемая уравнением

 -  = -1,

называется двуполостным гиперболоидом. Она состоит из двух обособленных полостей. Действительно, ни одна из плоскостей ХОУ не пересечет поверхности при | z | < c, т.к. при этом система

не имеет решений. При z = + c в сечении – точки, которые называются вершинами двуполостного гиперболоида. При

| z | > c в сечении эллипсы. Размеры их увеличиваются по мере возрастания z (рис. 4)

 


Рис. 4

Сечения плоскостями XOZ  и УOZ, которые представлены системами

 ,

являются гиперболами с действительной осью OZ.

Конус второго порядка

Поверхность, представляемая уравнением

 -  = 0, называется конусом второго порядка.

Линия пересечения плоскости XOZ (у = 0) с поверхностью задается системой:   , которая представляет пару прямых  +  = 0  -  = 0, проходящих через начало координат (рис. 5).

 


 Рис. 5

Всякая плоскость, параллельная плоскости ХОУ (но не совпадающая с ней), пересекает конус по эллипсу:

.

6.6. Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид – это поверхность, представляемая уравнением:

z =  (р > 0, q > 0)

Сечения поверхности плоскостями ХОZ и УОZ – это параболы х2 = 2 р z (y = 0) и y2 = 2 q z (x = 0) (рис. 6). Сечения плоскостями, параллельными плоскости ХОУ, задаются системой:

 ,

которая не имеет решения при h < 0.

При h = 0 плоскость z = 0 имеет с поверхностью одну общую точку. При h > 0 сечение представляет собой эллипс, размеры которого возрастают с увеличением h (рис. 6).

 


Рис. 6.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид – это поверхность, представляемая уравнением:

z =  (р > 0, q > 0).

Сечения плоскостями XOZ и УОZ есть параболы:

(1) x2 = 2 p z (y = 0)

(2)  y2 = -2 q z (x = 0)

Ветви параболы (1) направлены вверх, параболы (2) – вниз. ( Рис. 7). В результате поверхность имеет седлообразный вид.

 
 


Рис. 7

Всякая плоскость, параллельная плоскости ХОУ (но не совпадающая с ней), пересекает поверхность по гиперболе:

.

При z = 0 линия пересечения – пара прямых: = 0, т.е.

 = 0 и  = 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1975, гл. 10: Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. – С. 185 – 201, гл. II: Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных. – С. 202 – 216.

2. Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов / Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. – М.: Наука, 1968, гл. 6: Функции нескольких переменных. – С. 172 – 232.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1962, гл. 6: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. –

С. 288 – 344.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1970 – 1985. Т. 1, гл. УIII. Функции нескольких переменных. – С. 243 – 304.


Примеры решения задач к контрольной работе по физике
Сборник задач с решениями по математике