Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ, ГРАДИЕНТ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

 u = f (x, y, z) в точке М0 (x0, y0, z0) по

  направлению вектора ?

Поместим начало вектора  в точку М0 (x0, y0, z0). На векторе возьмем точку М (х0 + D х, y0 + D y, z0 + D z) на расстоянии D S =  от точки М0, при этом функция u = f (x, y, z) получит приращение

Du = f (х0 + D х, y0 + D y, z0 + D z) – f (x0, y0, z0).

Определение. Если существует конечный предел отношения , то этот предел называется производной функции u = f (x, y, z) по направлению  и обозначается символом: .

Если функция u = f (x, y, z) дифференцируема в некоторой окрестности точки М0 (x0, y0, z0), то

 =  сos a +   cos b +  cos g (5.1),  где

сos a, cos b и cos g направляющие косинусы вектора .

5.12. Что называется градиентом функции

 u = f (x, y, z) в точке М0 (x0, y0, z0) ?

Определение. Вектор, координаты которого в декартовой системе координат равны значениям частных производных функции и в точке М0, называется градиентом этой функции в заданной точке, и обозначается:

 =   +   +  (5.2)

Градиент функции в точке М0 дает скорость (величину и направление) наибыстрейшего изменения функции в точке

М0 (x0, y0, z0).

5.1.3. Какой вид имеют уравнения касательной

 плоскости и нормали к заданной поверхности в

 точке М0 (x0, y0, z0) ?

Пусть поверхность задана уравнением z = f (x, y), тогда, если функция f (x, y) дифференцируема в точке Р0 (x0, y0), то уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке М0 (x0, y0, z0) имеет вид

z – z0 =  (x – x0) +  (y – y0) (5.3)

Уравнение нормали (прямой, проходящей через точку М0 (x0, y0, z0) перпендикулярно касательной плоскости) запишется в виде:

 =  =  (5.4)

Если же поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0, и в точке М0 (x0, y0, z0) функция F (x, y, z) удовлетворяет условиям теоремы существования неявной функции z = f (x, y), заданной уравнением F (x, y, z) = 0 (см. п. 3.1.4), то уравнение касательной плоскости в точке М0 имеет вид:

 (х – х0) +  (у – у0) +

+  (z – z0) = 0 (5.5)

Соответственно уравнение нормали в этом случае запишется в виде:

 =  = . (5.6)

5.2. Примеры решения задач

Задача 1. Найти производную функции u = xy + yz + zx в точке А (2, 1, 3) в направлении, идущем от этой точки к точке В (5, 5, 15).

Решение. Для вычисления производной используем формулу (5.1). Найдем вектор  и его направляющие косинусы:

 = (5 – 2, 5 – 1, 15 – 3) = (3, 4, 12).

|| =  =  =  = 13.

cos a =; cos b = ;  cos g = .

Найдем частные производные функции в точке А:

 = y + z;  = 4

 = x + z;  = 5

 = y + z;  = 3.

Производная по направлению будет равна:

 = 4 ×  + 5 ×  + 3 ×   =  = .

Рекомендуем решить самостоятельно задачи № 1 – 3.

Задача 2. Найти величину и направление градиента функции u = 3x2 – 5y + 4z2 + xy в точке М0 (1, 0, -1).

Решение. Как следует из равенства (5.2), координаты вектора  есть частные производные функции u в точке М0, найдем их:

 = (6х + у) = 6 + 0 = 6,

 = (-5 + x)  = -5 + 1 = -4,

 = 12z2  = 12 × 1 = 12.

 = 6 - 4 + 12.

Величина градиента равна:

|| =  =  =  = 14.

Найти направление вектора – значит найти его направляющие косинусы. Для вектора градиента будем иметь:

cos a =  = ; cos b =   = -; cos g =  = .

Задача 3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 3 xyz – z3 =8 в точке М0 (0, 2, -2).

Решение. Поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0.

F (x, y, z) = 3xyz – z3 – 8. Поэтому уравнения касательной плоскости и нормали в точке М0 (x0, y0, z0) имеют вид (5.5 ) и (5.1.6).

Найдем частные производные функции F (x, y, z) в точке М0:

= 3yz= -12; = 3 xz= 0; = 3xy – 3z2 = -12.

Запишем уравнение касательной плоскости:

-12 (х – 0) + 0 (у – 2) – 12 (z + 2) = 0 или

-12 х – 12 z - 24 = 0, т.е. x + z + 2 = 0.

Запишем уравнение нормали:

 или .

Задача 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = 2x2 + 4y2 в точке М0 (2, 1, 12).

Решение. Поверхность задана в явном виде z = f (x, y), поэтому уравнения касательной плоскости и нормали в точке М0 (x0, y0, z0) имеют вид (5.3) и (5.4).

Найдем частные производные функции в точке М0

= 4х= 8;  = 8y = 8.

Уравнение касательной плоскости:

z – 12 = 8 (x – 2) + 8 (y – 1) или

8х + 8у – z – 16 – 8 + 12 = 0

8x + 8y – z – 12 = 0.

Уравнение нормали:

 =  = .

Задача 5. К поверхности x2 + 2y2 + 3z2 = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости

х + 4у + 6z = 0.

Решение. Дана плоскость х + 4у + 6z = 0, ее нормальный вектор  (1, 4, 6). Из условия параллельности плоскостей имеем, что нормальный вектор  искомых плоскостей коллинеарен данному вектору   и равен  (t, 4t, 6t). Найдем на поверхности точки, в которых нужно провести касательные плоскости.

 Þ 

подставим в уравнение поверхности  x2 + 2y2 + 3z2 = 21 и найдем значение параметра t:

 + 2 t2 + 3 t2 = 21,  t2 = 21, t2 = 4, t = ± 2.

Получаем две точки на поверхности: М1 (1, 2, 2) и

М2 (-1,-2,-2). В точке М1 (1, 2, 2):  = 2,   = 8,  = 12,

и уравнение касательной плоскости запишется так:

2 (x – 1) + 8 (y – 2) + 12 (z – 2) = 0,

2x + 8y + 12z – 42 = 0,

x + 4y + 6z – 21 = 0.

В точке М2 (-1,-2,-2):   = -2,  = -8,  = -12.

Запишем уравнение касательной плоскости:

-2 (x + 1) - 8 (y + 2) - 12 (z + 2) = 0,

-2x - 8y - 12z – 42 = 0,

x + 4y + 6z + 21 = 0.


Защита компьютерной информации http://predto.ru/
Сборник задач с решениями по математике