Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Если функция  определена и непрерывна на отрезке  и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка  существует по крайней мере одна точка, в которой функция обращается в нуль (рис. 8).

Если функция  определена и непрерывна на отрезке  и принимает на концах различные значения , то какое бы ни было число , лежащее между  и , найдётся такая точка , что  (рис. 9).

Если функция  определена и непрерывна на отрезке , то она там и ограничена, то есть существуют числа  и  такие, что  для всех  (рис. 10).

Если функция  определена и непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения  и наибольшего значения  (рис. 11).

Примеры

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

Р е ш е н и е

Функция непрерывна при   как частное двух непрерывных функций  и . Точка  является точкой разрыва функции. Определим её характер. Так как

,

но в точке  функция не определена, то точка   является точкой устранимого разрыва. Доопределив функцию в этой точке, получим непрерывную в  функцию

Пример 2. Исследовать функцию   на непрерывность в точке .

Р е ш е н и е

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке на языке приращений. Дадим аргументу  приращение , тогда функция получит приращение .

.

Непрерывность функции в точке   доказана.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

.

Р е ш е н и е

Данная функция непрерывна как отношение двух непрерывных функций на всей числовой оси, за исключением точки , где она не определена.

Доопределяем функцию в точке  так, чтобы она была непрерывна в этой точке. Односторонние пределы , и, полагая , получим функцию, непрерывную на всей числовой оси.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию

Р е ш е н и е

Функция (рис. 12) непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки .

Точка  является точкой разрыва второго рода так как

Рис. 12

Пример 5. Исследовать функцию  на непрерывность; найти точки разрыва и определить их тип. Построить схематический график функции.

Р е ш е н и е

В точках  и  функция не определена и, следовательно, разрывна.

Исследуем эти точки, для чего вычислим односторонние пределы при  и .

Для точки  имеем:

Односторонние пределы функции в точке  существуют, но не равны между собой.

Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода с конечным скачком. Скачок функции равен 2.

Для точки  имеем:

Рис. 13

Односторонние пределы бесконечны.

Следовательно,  является точкой разрыва второго рода.

Построим схематический график функции (рис. 13). Для этого запишем её в виде


Графические обозначения материалов в сечения Купить курсовую
Сборник задач с решениями по математике