Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ, НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ, ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пусть  z = f (x, y), где x = j (t), y = y (t), как найти производную от сложной функции 

z = f [(j (t), y (t)] ?

Если j (t) и y (t) дифференцируемы, то производная от сложной функции вычисляется по формуле:

 ×  ×  (3.1.1)

3.1.2. Пусть z = f (x, y), где y = j (х), как тогда

 вычисляется полная производная по х ?

Производная   вычисляется по формуле:

 +   (3.1.2)

3.1.3. Пусть z = f (x, y), где х = х (u, v), y = y (u, v). Как

 вычислить частные производные  и  ?

Частные производные вычисляются по формулам:

 =   +    =   +   (3.1.3)

3.1.4. Как дифференцируют функции ,заданные

 неявно ?

Ответ на этот вопрос дает теорема о существовании неявной функции.

Теорема. Пусть выполнены условия:

1) F (x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в точке М0 (x0, y0, z0) и некоторой ее окрестности.

2) F (x0, y0, z0) = 0.

3)  ¹ 0.

Тогда равенство F (x, y, z) = 0 определяет неявную функцию z = f (x, y), удовлетворяющую условиям 1) z = f (x, y) однозначна и непрерывна в окрестности точки Р0 (x0, y0);

z (x0, y0 ) = z0; 3) имеет частные производные, которые вычисляются по формулам:

 = - = -  (3.1.4)

Формула для вычисления производной неявной функции у = f (x), заданной уравнением F (x, y) = 0 вытекает из формул (3.1.4):

 = -  при условии, что (х, y) ¹ 0. 

3.1.5. Что называют частными производными

 второго порядка от функции z = f (x, y) ?

Пусть функция z = f (x, y) имеет в области D обе частные производные первого порядка:  и ., которые сами являются функциями х, у. Поэтому от них снова можно находить частные производные.

Определение. Частные производные от  и  называются частными производными второго порядка от функции

z = f (x, y).

Частные производные второго порядка обозначаются так:

 = =

 = = .

Производные  и  называются смешанными. Для них справедлива теорема: Если функция z = f (x, y) в некоторой окрестности точки М0 (х0, y0) имеет непрерывные вторые частные производные, то  = , т.е. смешанные производные, отличающиеся последовательностью дифференцирования, совпадают.

3.1.6. Как определяются частные производные

высших порядков ?

Производные второго порядка можно снова дифференцировать по  х и у. Получим частные производные 3го порядка. Их будет, очевидно, уже восемь: , , ,

, , , , .

Определение. Частная производная n-го порядка от функции z = f (x, y) есть производная от производной (n–1)-го порядка.

Например:   =  .

Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

3.1.7. Что называют дифференциалом второго

 порядка функции двух переменных ?

Определение. Дифференциалом второго порядка функции z = f (x, y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка и обозначается:

d2 f (x, y) = d (d f (x, y)) 

Если функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то вычислительная формула для d2 f (x, y) имеет вид:

d2 f (x, y) = dx2 + 2  dx dy + dy2 

3.2. Примеры решения задач

Задача 1. Найти полную производную  функции 

z = ln (x2 + y2), если х = ,  y = t2 + 1.

Решение. Используем правило дифференцирования сложной функции (3.1.1):

 = = ;  = = 2 t.

Окончательно получаем:

 =  ×   +  × 2 t =  .

Задача 2. Найти частную производную  и полную производную , если z = exy, где у = j (х).

Решение. Частная производная по х равна:  = exy × у. Полную производную найдем по формуле дифференцирования сложной функции (3.12):

 = exy × у + exy × х × j¢(х) = exy (у + х j¢ (х)).

Задача 3. Найти  и , если z = x + y2, где

x = v2 + sin u,  y = ln (u2 + v).

Решение. Частные производные   и , найдем по формуле дифференцирования сложной функции (3.1.3):

 = 1;  = 2y;  = cos u;  = ;

 = 2v;  = .

Окончательно имеем:

 = 1 × сos u + 2y ×  = cos u +

 = 1 × 2v + 2y ×  = 2v + .

Самостоятельно рекомендуем решить задачи № 1 – 8.

Задача 4. Найти производную по х функции у, заданной неявно:

 +  - 1 = 0.

Решение. Неявная функция задана уравнением

F (x, y) = 0. Искомую производную найдем по формуле (3.1.5):

Fx¢ =  = ; Fy¢ =   = ;

 = -  = - .

Задача 5. Найти частные производные функции z, заданной неявно

х2 – 2у2 + 3z2 – y z + y = 0.

Решение. Неявная функция задана уравнением

F (x, y, z) = 0. Искомые частные производные найдем по формуле (3.1.4):

Fx¢ =  = 2х; Fy¢ =  = - 4у – z + 1; Fz¢ =  = 6 z – y.

 = - = - .

Задача 6. Найти все частные производные второго порядка функции

z = x3 – 4 x2y + 5 y2.

Решение. Сначала найдем частные производные первого порядка:

 = 3 х2 – 8 ху;  = - 4х2 + 10 у.

Мы видим, что   и  являются функциями двух переменных, значит их можно еще дифференцировать по каждой переменной. Найдем частные производные второго порядка:

 = 6х – 8 у;  = - 8 х;

 = 10;  = - 8 х.

Еще мы убеждаемся в том, что смешанные производные равны, т.е.

 = .

Задача 7. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков функции

z = 2x2 – 3 xy + y3.

Решение. Имеем:  = 4х – 3у;  = -3x + 3y2.

Поэтому dz = (4x – 3y) dx + (3y2- 3x) dy.

Далее найдем частные производные второго порядка:

 = 4;  = -3;  = 6y.

Полный дифференциал второго порядка равен:

d2 z =  dx2 + 2 dx dy +  dy2.

Для данной функции будем иметь:

d2z = 4 dx2 – 6 dx dy + 6 y dy2.

Для закрепления данной темы предлагаем решить задачи 9 – 24.

3.3. Банк задач для самостоятельной работы

Задача 1. Найти , если z = ex-2y, где x = sin t, y = t3.

Задача 2. Найти , если z = arcsin (x – y), где x = 3t,

y = 4t3.

Задача 3. Найти , если z = x2 + y2 + xy, где x = sin t,

y = et.

Задача 4. Найти , если z = arctg (xy),где y = ex.

Задача 5. u = ln (ex + ey).  = ? Найти , если у = х3.

Задача 6. Найти , , если z = x2y – y2x, где 

x = u × cos v, y = u × sin v.

Задача 7. Найти , , если z = x2 ln y, где x = ,

y = 3u – 2v.

Задача 8. Показать, что функция z = arctg , где

x = u + v, y = u – v удовлетворяет соотношению

 +  = .

В задачах 9 – 13 найти производные функций, заданных неявно.

9. х3у – у3х = а4.  = ? Ответ. .

10. ху – ln y = a.  = ? Ответ. .

11. sin (xy) – exy – x2y = 0.  = ? 

 Ответ.  × .

12. х2 – 2у2 + z2 – 4x + 2z – 5 = 0.  = ?  = ?

 Ответ.   = = .

х2 + y2 – z2 – xy = 0. Найти ,  при х = -1,

y = 0, z = 1 Ответ.  –1; .

Задача 14. F (x,y, z) = 0. Доказать, что

 ×  =1;  ×  ×  = -1.

Задача 15. z = x3 + xy2 – 5 xy3 + y5. Показать, что

 =.

Задача 16. z = xy. Показать,что   =.

Задача 17. z = sin (xу). Показать, что

 = = .

Задача 18. Найти все частные производные второго порядка

u = 2x +xy + yz.

Ответ.  =  =  = 0, 

 =  =  = 1.

Задача 19. u = ex (x cos y – y sin y).

Показать, что  +  = 0.

Задача 20. V = xm yn zp. Найти .

Ответ. m n p (n – 1) (n – 2) (p – 1) xm - 1 yn - 3 z p – 2,

Задача 21. u = ex y z. Показать, что

 = ху  + 2х  + u.

В задачах 22 – 23 найти дифференциалы второго порядка.

22. z = xy2 – x2 y.

Ответ. d2 z = 2y dx2 + 4 (y – x) dx dy + 2x dy2.

23. u = y z x.

Ответ. d2 z = 2 (z dx dy + y dx dz + x dy dz).

Задача 24. z = sin (2x + y). Найти d3 z в точке (0, p).

Ответ. (2 dx + dy)3.


Математика примеры решения задач контрольной работы
Сборник задач с решениями по математике