Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Задача 4. Для функции z = f (x, y) = x2 + y найти полное приращение и полный дифференциал в точке (2, 1); сравнить их, если Dх = -0,1; Dy = 0,2.

Решение. Найдем полное приращение функции Dz:

Dz:= f (x + Dх,y + Dy)– f (x, y) = [(x + Dх)2 + (y + Dy)]– (x2 + y) =

= x2 + 2x × Dх + Dх2 + y + Dy - x2 - y = 2x × Dх + Dy + Dх2.

Линейная относительно Dх, Dy часть приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz, т.е.

dz = 2x × Dх + Dy.

Найдем численное значение Dz и dz согласно условию задачи.

Dz:= 2x × Dх + Dy + Dх2 = 2 × 2 (-0,1) + 0,2 + (-0,1)2 =

 = - 0,4 + 0,2 + 0,01 = -0,19,

dz = 2x × Dх + Dy = 2 × 2 (-0,1) + 0,2 = -0,4 + 0,2 = -0,2.

С точностью до бесконечно малых высшего порядка можно написать приближенное равенство: D» dz, которое используется в приближенных вычислениях.

Задача 5. Найти полный дифференциал функции

z = sin x2 × ay.

Решение. Вычислительная формула полного дифференциала имеет вид:

dz =  dx +  dy.

Найдем частные производные данной функции

 = cos x2 × 2x × ay,  = sin x2× ay ln a.

Полный дифференциал равен:

dz = (cos x2 × 2x × ay) dx + (sin x2× ay ln a) dy.

Задача 6. Вычислить приближенно  + .

Решение. Используем формулу приближенного вычисления (2.1.6):

f (x0 + Dx, y0 + Dy) » f (x0, y0) +  Dx +   Dy.

Запишем наше выражение в виде функции

f (x, y) = +,

где х = 15,96, y = 27,03.

Выберем за х0, у0 числа близкие к х и у.

Пусть х0 = 16, y0 = 27. Найдем приращения аргументов:

Dx = х - х0, Dx = 15,96 –16 = -0,04,

Dy = у – у0, Dy = 27,08 – 27 = 0,08.

Найдем частные производные в точке (х0; у0) = (16; 27).

 =  =

 =  =  =  = 0,03

 =   = ;

 =  =  =  = 0,037.

Найдем f (x0, y0) = +  =  +  = 2 + 3 = 5..

Подставляя найденные значения в формулу приближенных вычислений, получим:

 +  » 5 +0,03 × (-0,04) + 0,037 × 0,03 =

= 5 – 0,0012 + 0,00111 = 5 – 0,00009 = 4,99991.

2.3. Банк задач для самостоятельной работы

В задачах 1 – 10 найти частные производные функций

1. z = x3 + y3 – 3 a xy.

2. z = x3 y – y3 x.

3. z = (5x2y – y3 + 7)3.

4. z = ln (x2 + y2).

5. z = xy.

6. z = (1 + ху)у

7. u = xy + yz + zx.

8. u = x3 + yz2 + 3yx – x + z.

9. u = (sin x)yz.

10.z = ln  в точке (1, 2)

Ответ.  = 1,  = .

Задача 11. Показать, что х ×  + у ×   = ху + z, если

z = xy + x × .

Задача 12. Какой угол образует с положительным направлением оси ОХ касательная к линии

 в точке (2, 4, 5) ? Ответ. 45°.

Задача 13. Какой угол образует с положительным направлением оси ординат касательная к линии

 в точке (1, 1, ) ? Ответ. 30°.

Задача 14. Под каким углом пересекаются плоские линии, получающиеся в результате пересечения поверхностей

z = x2 +  y2 и z =   (x2 + y2) плоскостью у = 2 ?

 Ответ. j = arctg .

Задача 15. Для функции f (x, y) = x + y2 найти полное приращение и полный дифференциал в точке (3, 5); сравнить их, если Dх = 0,1; Dy = - 0,3.

 Ответ. Dz = -2,81, dz = -2,9.

Задача 16. Для функции f (x, y) = x2y найти полное приращение и полный дифференциал в точке (1, 2); сравнить их, если Dx = 0,1; Dy = 0,2.

 Ответ. Dz = 0,662; dz = 0,6.

В задачах 17 – 19 найти полные дифференциалы функций:

17. z = x2 y4 – x3 y3 + x4 y2.

18. z = .

19. z = arcsin .

В задачах 20 – 23 вычислить приближенно.

20. sin 1,59 × tg 3,09. Ответ. – 0,05.

21. . Ответ. 4,996.

22. (1,04)2,02.  Ответ. 1,08.

23. ln ( +  - 1). Ответ. 0,005.

2.4. Варианты проверочной работы.

В задачах 1 – 2 найти частные производные функций, в задачах 3 – 4 найти полные дифференциалы функций.

Вариант 1 Вариант2

1. z = x2 y + xy2 1. z = x + y + 2xy

2. u =  2. .u =

3.  z = x/y 3. z = y/x

4. u = x3 – 4x2 y + 5z 4. u = x2 – 3xy + yz

Вариант 3 Вариант4

1. z = x2 × sin y 1. z = x3 × tg y

2. u = arctg (x y2 z) 2. u = arccos (x y2 z)

3. z = ey/x 3.  z =

4. u = ln  4. u =

Вариант 5 Вариант 6

1. z =  1. z =

2.  u = ln (x +  + z) 2. u = x2 ln (y × z)

3. z = cos x × arctg y 3. z = arcsin

4.  u =  4. u =

Вариант 7 Вариант 8

1. z = x × cos (y2) 1. z = x3 × cos2 y

2. u =  2. u = xyz

3. z =  3. z = ln

4.  u = arctg  4. u =

Вариант 9 Вариант 10

1. z = arcsin (x2 + y) 1. z = arctg (x + y2)

2. u =  2. u = (y z)sin x

3. z =  × ln x 3. z =  × ln (xy)

4. u =  4. u =


Для разработки сборочного чертежа и спецификации к нему
Сборник задач с решениями по математике