Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Пусть в некоторой области D задана функция двух переменных z = f (x, y) и пусть М0 (x0, y0) – некоторая внутренняя точка области D. Дадим независимому переменному х приращение D х = х – х0, тогда функция z получит так называемое частное приращение по х:

Dх z = f (x0 + D x, y0) – f (x0, y0).

Определение. Частной производной от функции 

z = f (x, y) в точке М0 (х0, y0) по независимой переменной х называется конечный предел отношения частного приращения Dх z по х к приращению D х при стремлении  D х к нулю и обозначается одним из символов:

, , z¢x.

Итак, по определению:

 =  = .

Аналогично определяется частная производная по у:

 =  = .

Понятия частных производных для функций другого числа переменных даются аналогично.

Например, функция u = f (x, y, z) будет иметь три частные производные: , , , а функция n – переменных

F (x1, x2, …, xn) будет иметь n частных производных первого порядка. При этом, чтобы найти частную производную по одной из переменных (хi), нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по хi как от функции одного независимого переменного  хi.

2.1.2. В чем заключается геометрический смысл

 частных производных ?

Пусть функция z = f (x, y) определена в области D и точка М0 (x0, y0) – внутренняя точка в D. Уравнение z = f (x, y) задает некоторую поверхность. Если провести плоскость у = у0, то сечение этой плоскости с поверхностью представляет собой некоторую линию, причем точка с координатами

Р (х0, y0, z (x0, y0))  принадлежит этой линии.

Определение 1. Частная производная   в точке

М0 (x0, y0) численно равна тангенсу угла наклона касательной к сечению поверхности z = f (x, y) плоскостью у = у0.

Определение 2. Частная производная  в точке

М0 (x0, y0) численно равна тангенсу угла наклона касательной к сечению поверхности  z = f (x, y) плоскостью х = х0.

2.1.3. В чем заключается механический смысл

 частных производных ?

Механический смысл частных производных следует из их определения.

 - скорость изменения функции в точке М0 (x0, y0) в

 направлении оси ОХ.

 - скорость изменения функции в точке М0 (x0, y0) в

 направлении оси ОУ.

2.1.4. Когда функция z = f (x, y) называется

 дифференцируемой в данной точке ?

Определение. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке М0 (x0, y0), если в этой точке полное приращение функции можно представить в виде:

D z = A D x + B D y + O (r),

где А и В – числа, r = , O (r) – бесконечно малая высшего порядка относительно r при  D х ® 0, D y ® 0.

2.1.5. Что называется полным дифференциалом

 функции двух переменных ?

Определение. Полным дифференциалом функции

z = f (x, y) называется главная часть полного приращения Dz, линейная относительно приращений аргументов D х  и Dy, т.е. dz = A Dх + В Dy.

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. dx = Dх и dy = Dy. Полный дифференциал вычисляется по формуле:

dz =  dx +  dy.

2.1.6. Вывести формулу применения полного

 дифференциала к вычислению приближенного

 значения функции в точке

При достаточно малом r =  Dz » dz, т.е.

Þ f (x0 + D x, y0 + D y) – f (x0, y0) = dz (x0, y0), откуда

f (x0 + D x, y0 + D y) = f (x0, y0) +  Dx +  Dy

 (2.1.1)

2.2. Примеры решения задач

Задача 1. Найти частные производные функции двух переменных

z = ln cos .

Решение. Дифференцируем функцию по х, рассматривая у как постоянную величину, получим:

 = .

Аналогично, считая x постоянной величиной, найдем

 = .

Задача 2. Найти частные производные функции трех переменных

U = 2x + 3y – 4z + x4 y3 z2.

Решение.

 = 2 + 4x3 y3 z2;  = 3 + 3x4 y2 z2;

 = -4 + 2x4 y3 z.

Задача 3. Под каким углом пересекаются плоские линии, получающиеся в результате пересечения поверхностей

z = x2 +  и z =  плоскостью у = 2 ?

Решение. В результате пересечения эллиптического параболоида z = x2 +  плоскостью у = 2 получим параболу

z = x2 + 2/3, а параболоида вращения z =  - параболу

z =  + . Найдем точку пересечения этих парабол:

 Þ х2 + 2/3 =  +

 x2 = 2/3; x2 = 1; x = ± 1.

Нарисуем параболы в плоскости ХОZ

 


Рассмотрим точку А (1, 2, 5/3). Углом между двумя кривыми называется угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения. Используя геометрический смысл частных производных, мы найдем угловые коэффициенты касательных в точке А, а именно:

z1 = x2 + y2/6; k1 =   = 2 x ½x =1 = 2

z2 =  + ; k2 =  =  x ½x =1 = .

Найдем тангенс угла между двумя прямыми по формуле:

tg a =

tg a =  =  =

a = arctg 4/7.


Сборник задач с решениями по математике