Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Задача 4. Построить график функции двух переменных:

а)  z = x2, б)  +  -  = 1.

Решение. а) Поверхность z = x2 –цилиндрическая с образующей параллельной оси ОУ (см. приложение 6.1). Направляющей является парабола  z = x2 в плоскости ХОZ. Данная поверхность – параболический цилиндр.

 


б) Поверхность:  +  -  = 1 задана каноническим уравнением однополостного гиперболоида с мнимой осью OZ (см. приложение 6.3).

Исследуем данную поверхность методом сечения координатными плоскостями. В сечении данной поверхности и плоскости х = 0 получим гиперболу

 -  = 1. (1)

В сечении поверхности и плоскости у = 0 получим гиперболу

 -  = 1. (2)

В сечении поверхности и плоскости z = 0 получим эллипс

 +  = 1. (3)

Графиком данной функции является однополостной гиперболоид

 


Задача 5. Найти

.

Решение.

 =  =  =  =

=  =  = .

Задача 6. Найти .

Решение. Предел не зависит от направления, по которому х и у стремятся к бесконечности. Пусть у = kx, тогда

 =  =  =  = 0 при любом значении k.

Пример 7. Доказать, что  не существует.

Решение.  =  = (пусть у = kx) =

=  =  = .

Предел зависит от значения углового коэффициента  k. Значит предел не существует.

Задача 8. Доказать, что    не существует.

Решение. 

  =  =

При разной скорости стремления х и у к бесконечности получаются разные ответы, а это значит, что предел не существует.

Задача 9. Указать геометрическое место точек разрыва функции

z = .

Решение. Данная функция двух переменных z =  не определена там, где знаменатель обращается в нуль,

у – 4х = 0 или у = 4х. Прямая у = 4х является линией разрыва данной функции.

1.3.  Банк задач для самостоятельной работы

Задача 1. Выразить объем V правильной четырехугольной пирамиды как функцию ее высоты х и бокового ребра у.

Ответ.  V = (y2 – x2) × x.

Задача 2. Выразить площадь  S треугольника как функцию его трех сторон х, y, z.

Ответ. S =  .

Задача 3. Выразить объем z конуса как функцию его образующей х и высоты у.

Ответ. z =  (x2 y – y3).

Задача 4. Найти значение функции:

а) z = esin (x+y) при х = у = ,

б) z =  +  при х = 1, y = 2.

 Ответ. а) 1; б) 2.

В задачах 5 – 7 изобразить график функции двух переменных и указать ее область определения.

5.  z = 1 + x2 + y2.

6. z = .

7. z = .

В задачах 8 – 14 найти и изобразить области определения функций.

8. z = x + .

9. z = .

10. z = arcsin  + .

11. z = ln [x ln (y-x)].

12. u =  +  + .

13. u = arcsin x + arccos y + arcsin z.

14. u = .

Ответы. 5. Плоскость ХОУ.  6. Внутренность круга с границей х2 + у2 = 4. 7. Внешность круга с границей

х2 + у2 = 1.

8. Полуплоскость у ³ 0. 9. Внешность круга х2 + у2 > 1. 

10. Две полосы  и .

11. Открытая область   и .

12. Первый октант, включая границы. 13. Куб, ограниченный плоскостями х = ± 1, у = ± 1, z = ± 1. 14. Шар радиуса 1, включая границу.

В задачах 15 – 23 найти пределы.

15. . Ответ. ln 2.

16. . Ответ. 3.

17. . Ответ. ¥.

18. . Ответ. 2.

19. . Ответ. 0.

20. . Ответ. еk.

21. . Ответ. 1.

22. . Ответ. Не существует.

23.  . Ответ. Не существует.

В задачах 24 – 27 указать геометрическое место точек разрыва функций.

24. z = ln .

25. z = .

26. z = .

27. z = ..

Ответы. 24. Точка разрыва  (0, 0).

 25. Линия разрыва у = х.

 26. Линия разрыва х2 + у2 = 1.

  27. Линия разрыва у2 = 2х.


http://nvkurs.ru/zadmesh/
Сборник задач с решениями по математике