Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Теоретические сведения

Приступая к изучению функций нескольких переменных будем подробно останавливаться на функциях двух или трех переменных. Определения и выводы для функций большего числа переменных будут даваться по аналогии.

Что называется функцией двух переменных ?

Обозначим через D некоторое множество пар чисел

(х, у). На плоскости оно изобразится множеством точек с координатами х, у.

Определение. Если каждой паре чисел (х, у) из множества D по некоторому закону сопоставлено значение переменной z, то z называется функцией двух независимых переменных х, у. При этом множество D значений х и у при которых определяется функция z, называется областью определения этой функции.

Функцию двух переменных обозначают так:

z = f (x,y) (1.1)

1.1.2. Что называется функцией трех и более

 переменных ?

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех и более переменных.

Определение. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменной x, y, z, …, , v, t соответствует определенное значение переменной u, то u называется функцией независимых переменных  x, y, z, …, , v, t и обозначается:

u = f (x, y, z, …, , v, t).

Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных. Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел (x, y, z). Поскольку каждая упорядоченная тройка чисел задает точку в пространстве, то область определения функции трех переменных можно представить как совокупность точек пространства.

Аналогично можно говорить об области определения функции четырех и более числа переменных как о совокупности упорядоченных четверок чисел (x, y, z, t) и любого числа упорядоченных чисел (x, y, z, … , v, t). Однако область определения функции четырех и большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.

1.1.3. Что является графиком функции двух

 переменных ?

В уравнении (1.1.1) каждой точке М на плоскости с координатами (x, y) ставится в соответствие определенное значение переменной z. Тройка чисел (x, y, z = f (x, y)) определяет в пространстве единственную точку Р (x, y, z = f (x, y)). Очевидно (см. рис. 1), что проекцией точки Р на плоскость ХОУ является точка М (x, y).

 


 у


Рис. 1

Определение. Совокупность всех точек

Р (x, y, z = f (x, y)) называется графиком функции  z = f (x, y).

В простейших случаях графиком функции z = f (x, y) является поверхность, проекция которой на плоскость ХОУ есть область D определения функции.

Уравнение (1.1.) может быть представлено в виде:

F (x, y, z) = 0. Если это уравнение является уравнением первой степени, то оно представляет собой некоторую плоскость. Поверхность, которую представляет уравнение второй степени называется поверхностью второго порядка. В разделе п.6 приведены канонические уравнения и построены изображения некоторых из них.

1.1.4. Что называется пределом функции двух

 переменных ?

Определение. Функция f (x, y) имеет предел в точке

М0 (x0, y0)  равный числу А, если она определена в некоторой окрестности точки М0 (x0, y0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел f (x, y) = A, каким бы ни было направление движения от точки М (x, y) к точке М0 (x0, y0).

1.1.5. В каком случае функция называется

 непрерывной в точке ?

Определение. Функция f (x, y) непрерывна в точке

М0 (x0, y0), если выполняются три условия:

1) f (x, y) определена в некоторой окрестности и в самой точке;

2) существует предел f (x, y);

3) этот предел равен значению функции в точке

М0 (x0, y0).

f (x, y) = f (x0, y0).

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то точка М0 является точкой разрыва функции.

Примеры решения задач

Задача 1. Выразить объем V цилиндра как функцию его высоты  х и радиуса основания у.

Решение. Объем цилиндра равен V = p r2 H. В нашем случае Н = х, r = y. Получаем V = p y2 x.

Задача 2. Найти значение функции f (x, y) = xy +  при х = 1, у = -1 и при х = , у = 3.

Решение. f (1; -1) = 1 × (-1) +  = -1 – 1 = -2

 f   =  × 3 +  =  +  =  = .

Задача 3. Найти и изобразить область определения функций:

a) z = ln (x2 + y) б) z =  + .

Решение. а) Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство

х2 + у > 0 или у > -х2.

у

 
Построим график параболы у = -х2 пунктирной линией, т.к. мы имеем строгое неравенство у > -х2. Этому неравенству удовлетворяют точки плоскости, расположенные выше параболы, не включая самой параболы.

 


б) Чтобы z имело действительное значение, нужно чтобы под каждым корнем было неотрицательное число, т.е. нужно рассмотреть систему неравенств:

 Þ   Þ  Þ 

Изобразим геометрически:

 


Областью определения данной функции является совокупность точек плоскости, расположенная внутри квадрата, включая границы.


Сборник задач с решениями по математике