Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Пример 4.  

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

Функция является четной, так как   и периодической, так как  с периодом . Достаточно исследовать поведение этой функции и построить ее график на отрезке ; в остальных точках числовой оси поведение функции и её график будут повторяться.

При , ; . График функции пересекает ось  в точке  и не пересекает ось . При любом значении  функция имеет положительные значения.

а) График функции не имеет вертикальных асимптот, поскольку она непрерывна на всей числовой оси;

б) ;

 − не существует. Следовательно, график функции не имеет никаких асимптот.

;  обращается в нуль на отрезке  в точках ,  и , которые являются критическими. Других критических точек на отрезке  нет, так как   существует всюду. Исследуем критические точки по знаку : , , следовательно,  есть точка максимума, где ; , поэтому  есть точка минимума, где ; , поэтому  есть точка максимума, где .

В интервале , где , функция убывает, а в интервале , где , функция возрастает.

; существует всюду и обращается в нуль на отрезке   при  и . Эти точки оси  могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку  в соседних точках, заключаем, что на отрезке  график функции имеет две точки перегиба:  и .

Ординаты этих точек вычислены из данного уравнения.

рисВ интервалах  и , где , график функции выпуклый, а в интервале , где , он вогнут.

Согласно полученным результатам исследования строим график функции на отрезке , длина которого равна периоду данной функции, и затем повторяем его влево и вправо по периодическому закону (рис. 30).

Пример 5. .

Функция определена на всей числовой оси, кроме точки  

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

С осями координат график функции не пересекается и имеет положительные значения во всей своей области определения.

а) Вертикальной асимптотой графика функции является прямая .;  Здесь дважды применялось правило Лопиталя.

б) , т. е. наклонных асимптот график функции не имеет.

;  в точке , которая является критической;  не существует в точке , но она не является критической, так как это точка разрыва.

Исследуя критическую точку по знаку  в этой точке:

,

заключаем, что  есть точка минимума:

.

Определяя знак  в интервалах, границами которых являются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах  и , где  функция убывает, а в интервале , где , она возрастает.

рис нигде не обращается в нуль и существует во всей области определения функции. Поэтому график функции не имеет точек перегиба.

Определяя знак  слева и справа от точки разрыва, заключаем, что  на всей области определения. Следовательно, график функции всюду вогнут.

Строим график функции (рис. 31).


Теорема Ферма http://kursmat.ru/analysis/index2.html
Сборник задач с решениями по математике