Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Исследовать функции и построить их графики.

Пример 1. .

Решение. Руководствуясь указанной общей схемой, последовательно находим:

Областью определения данной функции, как и всякого многочлена, является вся числовая ось.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

При  из данного уравнения найдем , а при  найдем и . Это значит, что график функции пересекает координатные оси в точках  и .

Вычисление координат центра тяжести. Теоремы Гюльдена Найти координаты центра тяжести цепной линии  между  и .

Интервалы, где функция сохраняет знак, определяются из условия, что их границами могут быть только точки пересечения графика функции с осью , точки разрыва и границы области определения функции.

Для исследуемой функции такими точками являются точки и . Определяя знак функции при каком-либо значении   из интервала , заключаем, что во всем этом интервале функция имеет отрицательные значения; во всем интервале  функция имеет положительные значения, во всем интервале функция имеет отрицательные значения.

а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как она всюду непрерывна;

б) . Поэтому наклонных асимптот график функции также не имеет.

 в точках  и  которые являются критическими, так как они удовлетворяют всем необходимым для этого условиям. Других критических точек нет, поскольку производная существует всюду.

Исследуем критические точки по знаку  слева и справа от каждой из этих точек: (рис.25)

рис

Следовательно,  есть точка максимума:

Интервалы возрастания и убывания функции определяются из условия, что их границами могут быть только точки экстремума, точки разрыва и границы области определения функции.

Исследуемая функция всюду непрерывна и имеет единственную точку максимума . Поэтому в интервале  она возрастает, а в интервале   убывает.

 всюду существует и обращается в нуль при и . Эти значения  могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуем их, определяя знак  слева и справа: (рис.26)

рис

Следовательно, график функции имеет две точки перегиба  и  (их ординаты найдены из данного уравнения).

рисИнтервалы выпуклости кривой вверх и вниз определяем из условия, что их границами могут быть только абсциссы точек перегиба, точки разрыва и границы области расположения кривой.

Так как исследуемая кривая непрерывна на всей числовой оси, то, согласно рис.26, в интервалах  и  она выпукла, а в интервале   − вогнута.

Учитывая все полученные результаты исследования, строим график функции (рис. 27).

Пример 2.  

.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

График функции пересекает ось   в точке  и не пересекает оси .

При , ; при , .

а) Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции, т. к. при  она имеет бесконечный разрыв: ;

б) ,

Следовательно, прямая   есть наклонная асимптота. Других асимптот нет.

при , которая является критической;  не существует в точке , но эта точка не является критической, так как это точка разрыва.

Исследуем критическую точку по знаку : ; , следовательно,  есть точка минимума. .

рисСлева от точки минимума, при ,  функция убывает; между точкой минимума и точкой разрыва, при , , функция возрастает; справа от точки разрыва, при ,  функция убывает.

; ;  не существует при , но это значение  не может быть абсциссой точки перегиба, так как оно является точкой разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба.

Во всей области определения функции , поэтому она всюду вогнута.

Используя все полученные данные, строим график функции (рис28).

Пример 3. .

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

Функция нечетная, т. к.

, её график будет симметричен относительно начала координат.

График функции пересекается с осями координат только в начале координат. При  значения ; при  значения .

а) Вертикальных асимптот график функции не имеет;

б) ;

Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:.

;  нигде не обращается в нуль;  не существует в точках , которые являются критическими. Исследуя критические точки по знаку , заключаем, что  есть точка минимума, где , а  есть точка максимума, где . Слева от точки минимума в интервале , и справа от точки максимума в интервале , где , функция убывает, а между точками минимума и максимума в интервале , где , функция возрастает.

; в точке ;  не существует в точках . Эти точки оси  могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку  в соседних с ними точках слева и справа, заключаем, что  есть абсцисса точки перегиба; .

Слева от точки перегиба, в интервале , где , график функции обращен выпуклостью вверх, а справа от точки перегиба, в интервале , где , график функции обращен выпуклостью вниз.

рисОсновываясь на полученных результатах исследования, строим график функции (рис. 29).


http://kursgm.ru/zamkor/ Курс лекций по электротехнике
Сборник задач с решениями по математике