Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции в точке  и значение функции в этой точке равны, то есть

.

В этом определении выделим следующие три условия:

Функция в точке  определена (то есть существует ).

Функция имеет конечный предел в точке .

Этот предел равен значению функции в точке .

Сформулируем другое определение непрерывности функции в точке .

Определение. Функция   называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть

.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если функции  и  непрерывны в точке , то и функции

также непрерывны в точке .

Определение. Функция  называется непрерывной справа в точке , если . Функция  называется непрерывной слева в точке , если .

Если функция  непрерывна слева и справа в точке   и определена в этой точке, то она непрерывна в точке , то есть  и наоборот.

Таким образом, необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке имеет вид:

 (*)

Точки разрыва функции и их классификация

Пусть функция  не является непрерывной в точке , тогда точка  называется точкой разрыва этой функции.

Если функция не удовлетворяет условию (*) в точке , следовательно, она разрывна в точке .

Рассмотрим различные случаи.

, то есть левый и правый пределы в точке   существуют и равны между собой, но не равны значению функции в точке . Тогда  называется точкой устранимого разрыва. Разрыв в точке  легко устранить, если взять . В этом случае функция в точке  станет непрерывной.

, но  не существует (то есть в точке  функция не определена). Точка  называется точкой устранимого разрыва. Устранить разрыв можно, доопределив функцию в точке . .

Функция в точке  имеет левый и правый пределы, но они не равны. . Точка  называется точкой разрыва с конечным скачком.

Скачком функции  в точке  называется значение .

Точки устранимого разрыва и точки разрыва с конечным скачком называются точками разрыва первого рода. В них левый и правый пределы существуют и конечны. В точке разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.


Пример. Исследовать функцию на экстремум и монотонность.
Сборник задач с решениями по математике