Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл  от точки  до точки : 1) по прямой линии , 2) по дуге параболы , 3) по дуге эллипса .

 у 

 

 1

 O 0.5 х

   

 Рис. 9

▲ Сделаем чертеж (рис. 9).

1)

.

2)

3)

. ▼

Пример 4. Вычислить поток векторного поля  через замкнутую поверхность S, образованную плоскостью  и частью конуса . Проверить результат с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

▲ Поверхность S состоит из двух поверхностей:  - части конуса  и  - части плоскости . Поэтому поток через поверхность S равен сумме потоков вектора a через составляющие поверхности:

,

где  и  - внешние единичные нормали к конусу и плоскости соответственно

Вычислим поток через поверхность , уравнение которой в явном виде  (так как ). Исключая z из уравнений  и , получим уравнение границы области G (проекции поверхности  на плоскость ): . Вектор внешней нормали к поверхности

.

Здесь в выражении для нормали выбран знак «-», так как угол между осью

и нормалью n1 - тупой, и, следовательно, .

Найдем скалярное произведение векторов

.

Учитывая, что  на поверхности

,

по формуле (9.16) получаем . Область G есть круг . Поэтому переходим к полярным координатам

Вектор внешней нормали к поверхности  .

Здесь в выражении для нормали выбран знак «+», так как . Тогда имеем

;

.

Таким образом, поток векторного поля через поверхность  равен .

Найдем решение этой задачи с помощью формулы Остроградского-Гаусса (9.20). Дивергенция поля  равна

,

а поток (в цилиндрической системе координат)

.

Следовательно, как и в первом случае, . ▼


Низковольтный паяльник Электропаяльник пистолетного типа
Сборник задач с решениями по математике