Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.

Чтобы изменить порядок интегрирования

  в данном повторном интеграле, нужно:

1) записать область интегрирования по пределам повторного интеграла в виде неравенств и построить их;

2) записать область интегрирования иначе, изменив порядок интегрирования на обратный порядок интегрирования;

3) расставить новые пределы.

В результате перемены порядка интегрирования может вместо одного интеграла получиться два и больше и, наоборот, из нескольких – один повторный интеграл.

Помните, что внешние пределы постоянны, а внутренние чаще всего переменны.

▲ 1) Из пределов интегрирования в повторном интеграле следует, что область интегрирования G данного повторного интеграла ограничена прямыми линиями  и , линией  и прямой , т. е.

Линия  представляет собой дугу окружности  с центром в точке   и радиусом равным 1 (см. рис. 8).

 у 

 

 

 −0.5 

 −2  −1 O х

 Рис. 8

2) Область интегрирования G, правильная относительно оси Oy, проектируется на ось Ox в отрезок . Верхняя граница области интегрирования  на отрезке  задана двумя аналитическими выражениями:  и . Следовательно, разбиваем область интегрирования прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку пересечения линий   и , абсцисса которой -1, на две области  и :

3) Получаем . ▼

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , .

▲ По заданным уравнениям поверхностей строим область W методом сечений (находим сечения тела координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им):   - парабола;  - парабола;   - окружность.

Следовательно,  - параболоид вращения. Область G (сечение параболоида плоскостью ) окружность

.

Перейдем к цилиндрической системе координат.

. ▼


Построение лекальных кривых http://arthistori.ru/
Сборник задач с решениями по математике