Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Пример 1. Найти частные производные   функции .

▲ Считая функцию u функцией только одной переменной x, а переменные y и x рассматривая как постоянные (см. формулу (8.3)), находим . Аналогично, считая u функцией только y, а затем только z, получаем . ▼

Пример 2. Найти полное приращение   и полный дифференциал  функции  в точке . Вычислить приближенное значение   функции в точке , исходя из значения  функции в точке   и, заменив приращение функции при переходе от точки  к точке  дифференциалом. Вычислить абсолютную погрешность, которая получается при замене полного приращения функции ее полным дифференциалом.

Найдем полное приращение и полный дифференциал данной функции

в некоторой точке  при произвольных значениях  и . По определению (8.5)

Практикум по решению математических задач Задача Найти общее решение дифференциального уравнения .

.

После преобразований получим

.

Согласно определению, выражение , линейное относительно  и , есть полный дифференциал .

Абсолютная погрешность, которая получается при замене полного приращения ее полным дифференциалом .

Найдем теперь полное приращение , полный дифференциал  и абсолютную погрешность  при заданных числовых значениях. При  и ,  имеем

,

,

,

.

Вычислим приближенно значение   функции в точке . Находим значение данной функции в точке .

Значения  и  найдены выше. Найдем частные производные данной функции: . Тогда

;

.

Воспользовавшись теперь формулой (8.7), получим

. ▼

Пример 3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке, для которой .

▲ Прежде всего, определим аппликату точки касания из условия, что точка лежит на поверхности. Подставив в данное уравнение поверхности , получим . Следовательно, точкой касания является точка . Перепишем уравнение в виде . Находим частные производные  и их значения в точке :

;

.

Подставив найденные значения частных производных и координаты точки  в уравнения (8.8) и (8.9), получим уравнение касательной плоскости

, или ,

и уравнения нормали . ▼

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области, ограниченной линиями , .

▲ Находим критическую точку  из следующей системы:

откуда . Получили точку , в которой .

Исследуем данную функцию на границе области.

На прямой линии  имеем , и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке .

Находим . Получили точку локального минимума , в которой .

На концах отрезка .

Аналогично на прямой линии  имеем:

, , т.е.  - точка локального минимума, в которой . В точке .

На отрезке прямой   имеем, исключив y из z в соответствии с уравнениями , , отсюда находим критическую точку , в которой .

Сравнивая все полученные значения z, заключаем, что  достигается в точках, , а  - в критической точке . ▼

Пример 5. Найти производную функции  в точке   по направлению от точки A к .

▲ Частные производные функции u в точке A:

.

Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором  равен

.

Тогда по формуле (8.10) получим . ▼

Пример 6. Найти градиент скалярного поля  в точке .

▲ Согласно определению градиента, имеем

. ▼

Вопросы для самопроверки

1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое истолкование этих понятий.

2. Что называется функцией трех переменных, ее областью определений? Как можно геометрически истолковать область определения функции трех переменных?

3. Что называется поверхностью уровня и линией уровня? Какие поверхности являются поверхностями уровня функции ? Постройте линии уровня функции .

4. Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?

5. Что такое полное приращение функции  в точке ?

6. Выразите приращение функции   в точке  через приращения  аргументов?

7. Что называется точкой разрыва функции двух переменных?

8. Что называется частным приращением функции в данной точке? Как получить частное приращение функции из ее полного приращения? Запишите частные приращения функции  в точке .

9. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функции нескольких переменных. В чем состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

10. Когда функция  называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к известному значению?

11. В чем состоит геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?

12. Напишите формулу вычисления полной производной  сложной функции , где . Как записать эту формулу в случае ?

13. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функций двух переменных.

14. Что называется производной функции  в данной точке  по направлению вектора l? Напишите формулу ее вычисления.

15. Что называется градиентом скалярного поля  в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные вам свойства градиента.

16. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

17. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.

18. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

После изучения темы ”Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных“ выполните контрольную работу 8.


http://winru.ru/rashet_ustroi/index3.html
Сборник задач с решениями по математике