Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Пример 1. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Проверяем необходимый признак

.

Здесь для вычисления предела использовано правило Лопиталя. Т.к. , то проверяем сходимость по признаку Д¢Аламбера (7.5). Так как общий член ряда , то, заменяя в выражении n-го члена n на величину , находим .

Затем ищем предел отношения последующего члена  к предыдущему :

.

Поскольку полученный предел равен 1, признак Д¢Аламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (для вычисления предела использовано правило Лопиталя). Применим теперь признак сравнения в предельной форме. В качестве эталонного ряда выберем ряд  и в силу формулы (7.4) получим

.

Следовательно, исследуемый ряд является расходящимся, так как эталонный ряд с общим членом  расходится (гармонический ряд). ▼

Пример 2. Найти область сходимости ряда .

Для определения области сходимости степенного ряда

необходимо:

1) вычислить радиус сходимости по формуле (7.11);

2) исследовать сходимость ряда ;

3) записать область сходимости по результатам предыдущих пунктов.

▲ Т.к. , то

.

Значит, степенной ряд сходится , т.е. в интервале .

Если , получаем ряд .

Положим  ; эта функция положительная, непрерывная и убывает. Тогда несобственный интеграл

т.е. расходится, а значит, данный ряд также расходится.

Если  получаем знакочередующийся ряд

.

Так как члены данного знакочередующегося ряда монотонно убывают

, и ,

то, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Так как ряд, составленный из абсолютных членов данного ряда, т.е. ряд , расходится, то исследуемый ряд сходится условно (неабсолютно). Таким образом, область сходимости исследуемого степенного ряда . ▼


Сборник задач с решениями по математике