Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

▲ В уравнении нет в явном виде искомой функции y. Понизим порядок этого уравнения, положив . Тогда  и исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными

.

Т.к. , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

.

Получили общее решение исходного уравнения . ▼

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

▲ В уравнении нет в явном виде аргумента x. Понизим порядок уравнения

подстановкой , тогда  и исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными

.

Т.к. , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными

. ▼

Пример 5. Найти общее решение уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .

Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид , откуда , . Следовательно,  - общее решение однородного уравнения.

Подберем вид частного решения для данного уравнения.

Подставляя  и  в неоднородное исходное уравнение, получим тождество ( - решение данного уравнения). Для удобства вычислений будем выписывать выражения , ,  в отдельные строки и слева за вертикальной чертой помещать коэффициенты, стоящие перед ними в уравнении. Умножая эти выражения на коэффициенты, складывая и приводя подобные члены, имеем:

.

Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой части последнего тождества, находим   и :

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

,

а общее решение неоднородного уравнения -

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Искомое частное решение таково:

. ▼


Сборник задач с решениями по математике