Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Пример. Пусть дано дифференциальное уравнение .

Что есть что?

1) Дифференциальное 2) Общее решение 3) Частное решение

 уравнение  

 у y у  

 

 Интегральная кривая,

 соответствующая начальному

 условию .

Рис. 10.

2. Рассмотрим методы нахождения решений дифференциальных уравнений 1-го порядка. Отметим, что общего метода нахождения решений не существует. Обычно рассматривают типы уравнений, и для каждого из них находят свой способ нахождения решения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида

, (6.1)

где,  − непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

 Для отыскания решения уравнения (6.1) нужно, как говорят, разделить в нем переменные. Для этого

  1) заменим в (6.1) ,

 2) умножим обе части уравнения ,

 3) разделим обе части уравнения .

Тогда уравнение принимает вид

. (6.2)

В этом уравнении переменная x входит только в правую часть уравнения, а переменная y − только в левую часть. Следовательно, переменные разделены. Далее необходимо проинтегрировать уравнение (6.2) и записать общий интеграл (решение).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

▲ Так как функции   и  - однородные второго измерения, то данное уравнение – однородное (см. п. 2). Сделаем замену . Тогда

.

Предполагая, что , сокращаем обе части уравнения . Далее имеем:

.

Разделяя переменные (для разделения переменных необходимо перенести все, что содержит t в одну сторону, а все, что содержит x - в другую, при этом   и  должны быть только в числителях), последовательно находим:

.

В последнее выражение вместо переменной t подставим значение . Получим общий интеграл . Разрешив его относительно y, найдем общее решение исходного дифференциального уравнения: . ▼

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

▲ 1. Убедившись, что данное уравнение линейное (см. п. 2), полагаем

, тогда

и данное уравнение преобразуется к виду

.

Составим систему для определения u и v:

Решаем первое уравнение системы  (при определении v не нужно писать произвольную постоянную величину, ибо  достаточно знать с точностью до постоянной величины). Подставляем во второе уравнение системы  и решаем полученное уравнение:

.

Зная u и v, находим искомую функцию y: .

2. Перепишем данное уравнение так: . Рассмотрим однородное уравнение . Так как  (значение  не является решением неоднородного уравнения), то

 -

общее решение однородного уравнения.

Применяем далее метод вариации произвольной постоянной C. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Подставив значения y и   в неоднородное уравнение, получим

.

Т.к. , то .

Подставив это значение   в общее решение неоднородного уравнения, получим  - общее решение неоднородного уравнения. ▼


Сборник задач с решениями по математике