Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Вычисление площадей плоских фигур. Область называется правильной относительно оси , если любая горизонтальная (вертикальная) прямая пересекает границу области не более чем в двух точках. Если область правильная относительно осей Ox и Oy, то она просто называется правильной областью. Области на рис. 6 - правильные относительно оси , на рис. 7 - относительно оси .

Условимся дальше области, правильные относительно оси , штриховать линиями, параллельными оси .

1. Если область G, правильная относительно оси , проектируется на ось Ox в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: нижнюю границу области, задаваемую уравнением , и верхнюю, задаваемую уравнением . Тогда область G определяется системой неравенств

 8, 9;

а площадь фигуры, заключенной между кривыми  и , на отрезке  вычисляется по формуле

. (5.11)

Если область G, правильная относительно оси Ox, проектируется на ось Oy в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: левую границу области, задаваемую уравнением , и правую, задаваемую уравнением . В этом случае область G определяется системой неравенств

а площадь фигуры, заключенной между кривыми  и , на отрезке  вычисляется по формуле

 . (5.12)

2. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями , то площадь криволинейной трапеции

  ; (5.13)

где a и b определяются из уравнений  и .

3. В случае, когда непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , площадь криволинейного сектора , ограниченного данной кривой и двумя полярными радиусами  и , которые соответствуют значениям  и  полярного угла, выражается интегралом

  . (5.13)

Вычисление длины дуги

1. Пусть дуга AB кривой задана уравнением , где  - непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги AB

 . (5.14)

2. В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями , , где  - непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги вычисляется по формуле

 . (5.15)

Здесь α, β  - значения параметра t, соответствующие концам дуги AB.

3. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина l дуги AB вычисляется по формуле

, (5.16)

где  и  соответствуют концам дуги AB.

8. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми линиями ,  и частью графика кривой , вращается вокруг оси . Тогда объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле

 . (5.17)

Пример 1. Найти .

▲ Используя формулы (5.1), имеем

.

Проверка. .▼

Пример 2. Найти .

▲ Применяя (5.2), получим

.▼

Пример 3. Найти .

▲ Применяя формулу (5.3), имеем

. ▼

Пример 4. Найти .

.

Перенося последний интеграл в левую часть равенства, получим

.

Следовательно, . ▼

Пример 5. Найти .

▲ Рациональная подынтегральная дробь является правильной (см. методы интегрирования 4) и разлагается на простейшие дроби вида (5.4):

.

Если привести дроби из данного разложения к общему знаменателю, то он совпадает со знаменателем исходной подынтегральной функции. Числители в левой и правой частях последнего равенства будут тождественно равными, т.е.

.

Для нахождения неизвестного коэффициента A используем метод частных значений, т. е. подставим вместо переменной x ее частное значение, совпадающее с вещественным корнем знаменателя, . Получим равенство , откуда следует, что .

Для вычисления значений M, N используем метод неопределенных коэффициентов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях полученного тождества, получаем систему уравнений

Решение этой системы: . Таким образом,

. ▼

Пример 6. Найти .

. ▲


Мощность трехфазных цепей http://refic.ru/
Сборник задач с решениями по математике