Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Предел

Числовая последовательность и её предел

Определение. Числовой последовательностью называют функцию натурального аргумента

Число  называется общим или n-м членом числовой последовательности.

Определение. Число   называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдётся такой номер , что для всех членов последовательности с номерами  выполняется неравенство .
В этом случае записывают: .

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Дадим геометрическую иллюстрацию предела последовательности.

Последовательность   можно рассматривать как последовательность точек прямой. Неравенство  равносильно неравенству  (рис. 6).

Рис. 6

Точка  будет пределом последовательности точек , если какую бы окрестность  точки  мы не задали, найдётся такой номер , что все точки последовательности с номерами  попадают в заданную окрестность.

Вне этой окрестности может оказаться лишь конечное число точек последовательности.

Если взять меньшую окрестность , то неравенство  будет выполняться, начиная с более высокого номера .

Предел функции в точке

Пусть функция  задана в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .

Определение. Число   называется пределом функции  в точке , если для любого положительного числа  найдётся такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В этом случае записывают .

Дадим геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке (рис. 7).

Для всех точек , отстоящих от точки  не дальше, чем на , точки  графика функции  лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми

Арифметические свойства пределов

Пусть , тогда

Рис. 7

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Для функций:

Пример 1. Найти

Р е ш е н и е

Пример 2. Найти

Р е ш е н и е

Подставляя вместо  его предельное значение, равное 1, получим неопределённость вида . Разложим числитель и знаменатель на множители, тогда

Заметим, что мы сократили дробь на выражение , стремящееся к нулю. Тем самым мы раскрыли неопределенность.

Пример 3. Найти

Р е ш е н и е

Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида .

Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, то есть на . В результате получим:

поскольку при  функции  и  стремятся к нулю.

Пример 4. Найти

Р е ш е н и е

Раскроем неопределённость вида  с помощью первого замечательного предела.

Пример 5. Найти .

Р е ш е н и е

Путём элементарных преобразований вычисление предела в нашем примере сведём ко второму замечательному пределу.

Пример 6. Найти

Р е ш е н и е

Подстановка предельного значения приводит к неопределённости вида .

Воспользуемся для её раскрытия вторым замечательным пределом.


Чертеж цилиндрической зубчатой передачи Инженерная графика
Сборник задач с решениями по математике