Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Метод неопределенных коэффициентов.

Как уже упоминалось, общее решение неоднородного уравнения можно найти как сумму некоторого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Метод неопределенных коэффициентов позволяет найти частное решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами (8), если правая часть уравнения имеет специальный вид

 ,

 где  - постоянные,  и  - многочлены степени r и s соответственно.

Частное решение в этом случае ищется в виде

,

где , если число  не является корнем характеристического уравнения, в противном случае k равно кратности этого корня;   - многочлены с неопределенными коэффициентами степени .

Пример 15. Найдем общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение   имеет корни  и . Поэтому общее решение однородного уравнения  имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. В нашем примере , т.е.  и  - многочлены нулевой степени.

Заметим, что число  - корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому k =1. Поскольку , то m=0. Значит, частное решение следует искать в виде .

Подставляя y в исходное уравнение (при этом ), находим a=1/4.

Общее решение исходного уравнения имеет вид .

 Пример 16. .

Составим характеристическое уравнение: , найдем его корни:  и . Общее решение однородного уравнения  имеет вид .

Функция  такова, что применим метод неопределенных коэффициентов. Здесь  и  - многочлены степени  и  соответственно.

Поэтому k=0 (число   - не корень характеристического уравнения), m=max(r,s)=1,  - многочлены первой степени с неопределенными коэффициентами. Частное решение исходного уравнения следует искать в виде .

Подставив y в исходное уравнение, найдем: a = -1/20, b = -3/25, c = -3/20,  d = -7/200.

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид .


Дифференцирование функций, заданных неявно
Сборник задач с решениями по математике